Я могу рассмотреть язык теории колец, т.е. один сорт переменных "элементы кольца", бинарные операции "сложение", "вычитание", "умножение", константы "ноль" и "единица". Рассмотреть в этом языке все формулы, истинные во всех кольцах k[x], где k -- (конечное) поле. И задаться вопросом, истинны ли все такие формулы в кольце Z.
Проблема в том, что ответ очевидно отрицательный. Глупейшее утверждение "или 1+1=0, или 1+1+1=0, или существуют три попарно различных обратимых элемента" выполнено во всех кольцах k[x], но не в Z.
Можно ли как-то разумно ограничить класс рассматриваемых формул, так чтобы любая формула из этого класса, истинная во всех k[x], была истинна в Z, и при этом класс формул был достаточно богатым, чтобы включать всякие содержательные алгебраические утверждения?