Что касается того, как пользоваться этой самой лагранжевостью/максимальной изотропностью, то я тут пока что вспомнил две идеи. 1. Для любого глобального поля K с множеством исключительных нормирований S, пусть задан элемент w из группы W. Его можно рассмотреть как линейный функционал на K S /l (со значениями в корнях l-й степени из 1). Пусть задан также дивизор D поля K, сосредоточенный вне S -- конечная формальная линейная комбинация нормирований K, не принадлежащих S, с целыми коэффициентами. Рассмотрим расширение поля K, получающееся добавлением корней l-й степени из всех элементов K S , и элемент группы Галуа этого расширения -- линейную комбинацию элементов Фробениуса, отвечающую дивизору D. Этот элемент группы Галуа тоже можно рассматривать как линейный функционал на K S /l (со значениями там же). Пользуясь http://posic.livejournal.com/433165.html , можно показать, что если эти два линейных функционала на K S /l cовпадают, то существует ненулевой элемент поля K, дивизор которого вне S равен D, а образ в W равен w. 2. Пусть симплектическое векторное пространство разложено в конечную ортогональную прямую сумму симплектических подпространств, и пусть в этой прямой сумме задано лагранжево подпространство. Тогда можно выбрать дополнительное лагранжево подпространство, равное прямой сумме лагранжевых подпространств в прямых слагаемых разложения в ортогональную прямую сумму.