Новости кошулевости когомологий Галуа числовых полей - II
Теперь, что касается собственно доказательств, насколько мне удалось их вспомнить к настоящему моменту. Ключевую роль играет эта лемма -- http://posic.livejournal.com/431736.html . Выглядит она на первый взгляд не слишком занимательно, так что я начну с объяснения, в чем там дело.
Для любого локального поля Kv, содержащего первообразный корень l-й степени из 1, кроме поля комплексных чисел, группа KM2(Kv)/l естественно изоморфна группе корней l-й степени из 1 в Kv. Отображение умножения из декартова квадрата KM1(Kv)/l в KM2(Kv)/l является невырожденным спариванием, симметричным если l=2, и кососимметричным, если либо l нечетно, либо K содержит квадратный корень из -1. Это спаривание можно также определить как результат сопоставленя изоморфизмов локальной теории полей классов и теории Куммера для максимальной абелевой факторгруппы, аннулируемой умножением на l, абсолютной группы Галуа поля Kv. Так доказывается невырожденность этого спаривания.
Рассмотрим теперь исключительное множество S нормирований глобального поля K, как в лемме, и возьмем за T пустое множество нормирований. Рассмотрим векторное пространство W над Z/l, равное прямой сумме Kv*/Kv*l по всем v из S, и снабдим его невырожденной билинейной формой, равной сумме билинейных форм на прямых слагаемых. Лемма утверждает, что отображение из KS/l в W инъективно. Закон взаимности Артина утверждает, что ограничение билинейной формы на KS/l тривиально. Наконец, можно подсчитать размерности KS/l и W. Первая равна целочисленному рангу KS плюс единица, отвечающая за группу корней из 1 в KS. По теореме Дирихле о единицах, это получается #S. Вторая равна числу вещественных нормирований K, плюс сумма (2 + cтепень расширения Kv над Ql) по всем нормированиям v поля K, лежащим над l, плюс дважды число всех остальных неархимедовых нормирований из S. Если сложить, как раз получится 2#S. Таким образом, KS/l -- лагранжево (в кососимметрическом случае) или максимальное изотропное половинной размерности (в симметрическом случае) подпространство W.
Для любого локального поля Kv, содержащего первообразный корень l-й степени из 1, кроме поля комплексных чисел, группа KM2(Kv)/l естественно изоморфна группе корней l-й степени из 1 в Kv. Отображение умножения из декартова квадрата KM1(Kv)/l в KM2(Kv)/l является невырожденным спариванием, симметричным если l=2, и кососимметричным, если либо l нечетно, либо K содержит квадратный корень из -1. Это спаривание можно также определить как результат сопоставленя изоморфизмов локальной теории полей классов и теории Куммера для максимальной абелевой факторгруппы, аннулируемой умножением на l, абсолютной группы Галуа поля Kv. Так доказывается невырожденность этого спаривания.
Рассмотрим теперь исключительное множество S нормирований глобального поля K, как в лемме, и возьмем за T пустое множество нормирований. Рассмотрим векторное пространство W над Z/l, равное прямой сумме Kv*/Kv*l по всем v из S, и снабдим его невырожденной билинейной формой, равной сумме билинейных форм на прямых слагаемых. Лемма утверждает, что отображение из KS/l в W инъективно. Закон взаимности Артина утверждает, что ограничение билинейной формы на KS/l тривиально. Наконец, можно подсчитать размерности KS/l и W. Первая равна целочисленному рангу KS плюс единица, отвечающая за группу корней из 1 в KS. По теореме Дирихле о единицах, это получается #S. Вторая равна числу вещественных нормирований K, плюс сумма (2 + cтепень расширения Kv над Ql) по всем нормированиям v поля K, лежащим над l, плюс дважды число всех остальных неархимедовых нормирований из S. Если сложить, как раз получится 2#S. Таким образом, KS/l -- лагранжево (в кососимметрическом случае) или максимальное изотропное половинной размерности (в симметрическом случае) подпространство W.