Письма 2002 года здесь -- http://posic.livejournal.com/190336.html From: Leonid Positselski < posic@mccme.ru > To: roma, hippie Date: Fri, 1 Sep 2000 09:40:45 +0400 (MSD) Subject: demystifying A^#, pervaya chast' (s ispravleniyami) Lines: 65 Privet, Roma i Serezha, Ya vnes esche nekotorye ispravleniya, krome teh, o kotoryh uzhe soobschalos', vse v osnovnom po chasti levogo i pravogo, a takzhe nekotorye dobavleniya. Spasibo za vnimanie i proch. I. Opisanie algebry A^# v sluchae, kogda A=N\otimes B, gde N i B -- podalgebry. Ispol'zuet opredelenie A^#, kotoroe obychno daet Serezha. Neskol'ko proyasnyaet beskonechnomernuyu situaciyu. V ostal'nom bespolezno. Pust' A -- grad. algebra s dvumya grad. podalgebrami N i B, prichem N_i konechnomerno dlya vseh i, N_i=0 dlya i<<0, i B_i=0 dlya i>>0. Predpolozhim, chto otobrazhenie umnozheniya N\otimes_k B \to A -- izomorfizm. Togda algebra A odnoznachno vosstanavlivaetsya po N, B i otobrazheniyu "perestanovki" \phi: B\otimes N \to N\otimes B. Putem "podnyatiya indeksov" po otobrazheniyu \psi mozhno postroit' otobrazhenie \psi: N^*\otimes B \to Hom_k(N,B) = B\otimes N^* (poslednee ravenstvo sleduet iz uslovij na graduirovki N i B. Hom_k oboznachaet graduirovannoe prostranstvo Hom -- pryamuyu summu prostranstv odnorodnyh otobrazhenij raznyh stepenej). Teper' ya otvlekus', chtoby napomnit' opredelenie modulej S i S' imeni Serezhi. Itak, S=N^*\otimes_N A i S'=Hom_{B-right}(A,B) (Hom pravyh B-modulej). Eto dva pravyh A-modulya. Mezhdu nimi est' otobrazhenie S \to S': n^*\otimes_N a \mapsto (a'\mapsto < n^*, aa' >) gde < n^*, - >: A \to B -- otobrazhenie, sparivayuschee n^* s pervym tenzornym somnozhitelem v A=N\otimes B. Na urovne vektornyh prostranstv imeem S = N^*\otimes_k B = S'. Ya utverzhdayu, chto vysheopisannoe otobrazhenie A-modulej S \to S' sovpadaet s vysheopisannym otobrazheniem \psi vektornyh prostranstv. Dlya togo, chtoby Serezhino opredelenie algebry A^# imelo smysl, neobhodimo, chtoby \psi bylo izomorphizmom, chto ya i predpolagayu. Teper' rassmotrim obratnoe otobrazhenie \psi^{-1}: B\otimes N^* \to N^*\otimes B. Ya hochu "opustit' v nem indeksy" obratno. Togda poluchitsya nekotoroe otobrazhenie \phi^#: N\otimes B \to Hom_k(N^*,B). Teper' uzhe, k sozhaleniyu, niotkuda ne sleduet, chto obraz \phi^# soderzhitsya v podprostranstve otobrazhenij N^*\to B konechnogo ranga, t.e. v B\otimes N \subset Hom_k(N^*,B). Ya utverzhdayu, chto Serezhina algebra A^# suschestvuet rovno togda, kogda eto tak, i v etom sluchae algebra A^# stroitsya po otobrazheniyu "perestanovki" \phi^#. V konechnomernom sluchae poslednee uslovie trivial'no, tak chto dostatochno togo, chtoby otobrazhenie \psi bylo obratimo. Teper' mozhno opredelit' algebru A^#, ne ispol'zuya moduli S i S', a ispol'zuya tol'ko otobrazheniya \phi i \phi^#. A imenno, dlya suschestvovania algebry s dannym otobrazheniem "perestanovki" neobhodimo i dostatochno, chtoby ono udovletvoryalo nekotorym tozhdestvam (associativnosti). Mozhno proverit', chto \phi i \phi^# udovletvoryayut etim tozhdestvam odnovremenno. Lenya. From: Leonid Positselski < posic@mccme.ru > To: roma, hippie Date: Fri, 1 Sep 2000 09:43:12 +0400 (MSD) Subject: demystifying A^#, vtoraya chast' (s ispravleniyami) Lines: 77 II. Opisanie algebry A^# v konechnomernom sluchae. Ne ispol'zuet ni podalgebru B, ni graduirovku. Ispol'zuet tol'ko podalgebru N. Rekomenduetsya k upotrebleniyu. Snachala otstuplenie. Pust N -- konechnomernaya algebra (imenno tak, graduirovannaya lokal'no konechnomernaya ne podhodit). Togda N^* yavlyaetsya koalgebroj, prichem N-moduli -- eto to zhe samoe, chto N^*-komoduli. Na N-modulyah est' operaciya tenzornogo proizvedeniya, a na N^*-komodulyah -- kotenzornoe proizvedenie. (Poslednee mozhno, pri zhelanii, opredelit' v modul'nyh terminah kak Hom_{N-bimod-N}(N,P\otimes_k Q), gde P i Q -- pravyj i levyj N-moduli, sootvetstvenno.) Budem oboznachat' tenzornoe proizvedenie N-modulej cherez P\ot_N Q, a kotenzornoe proizvedenie -- cherez P\oc_{N^*} Q. Na kategorii N-modulej imeyutsya endofunktory (imeni Serezhi) P \mapsto N^*\ot_N P i P \mapsto N\oc_{N^*}P = Hom_N(N^*,P). Ya utverzhdayu, chto dlya lyubogo pravogo N-modulya P i levogo N-modulya Q imeetsya otobrazhenie (abelevyh grupp) (1) P\ot_N Q \to P\oc_{N^*} (N^*\ot_N Q), kotoroe yavlyaetsya izomorfizmom, po krajnej mere, esli modul' Q svoboden ili modul' P kosvoboden. Analogichnym obrazom, imeetsya otobrazhenie (2) P\ot_N (N\oc_{N^*} Q) \to P\oc_{N^*} Q, i eto izomorfizm, esli modul' Q kosvoboden ili modul' P svoboden. (Takaya kak by vzaimnaya associativnost' tenzornogo i kotenzornogo proizvedenij. Prostoe uprazhnenie.) Konec otstupleniya. Rassmotrim teper' tenzornuyu kategoriyu N-bimodulej (otnositel'no tenzornogo proizvedeniya). Bimoduli, svobodnye (skazhem) sleva obrazuyut tam tenzornuyu podkategoriyu. Analogichno, imeetsya tenzornaya kategoriya N-bimodulej otnositel'no kotenzornogo proizvedeniya. Kosvobodnye sleva bimoduli obrazuyut v nej tenzornuyu podkategoriyu. Togda formuly "associativnosti" (1-2) oznachayut, chto: (i) funktor Q \mapsto N^*\ot_N Q -- tenzornyj funktor iz svobodnyh sleva bimodulej otn. tenzornogo proizvedeniya v kosvobodnye sleva bimoduli otn. kotenzornogo proizvedeniya; (ii) Q \mapsto N\oc_{N^*} Q -- tenzornyj funktor v obratnuyu storonu; (iii) eti dva funktora vzaimno obratny, i, sledovatel'no, yavlyayutsya ekvivalentnostyami tenzornyh kategorij. V chastnosti, eti funktory induciruyut ekvivalentnost' kategorij ob`jektov-algebr v toj i v drugoj tenzornoj kategorii. Pust' teper' A -- (obychnaya) algebra, soderzhaschaya podalgebru N; togda A est' takzhe algebra v kategorii N-bimodulej. My vidim, chto esli A svobodna nad N sleva, to S = N^*\ot_N A yavlyaetsya komodul'noj algebroj nad N (t.e. algebroj otn. kotenzornogo proizvedeniya). Dalee, esli S okazyvaetsya kosvobodnoj sprava (a ne tol'ko sleva) nad N, to mozhno opredelit' A^# = S \oc_{N^*} N = (N^* \ot_N A) \oc_{N^*} N. Eto algebra v kategorii N-bimodulej otn. tenzornogo proizvedeniya, t.e. -- prosto associativnaya algebra, soderzhaschaya N. Uslovie, chto S - kosvobodnyj pravyj N-modul', sootvetstvuet usloviyu obratimosti otobrazheniya \psi iz pervogo pis'ma. Iz teh zhe samyh formul (1-2) sleduet, chto (iv) pravye A-moduli sut' to zhe samoe, chto pravye S-moduli (t.e. pravye N-moduli so strukturoj S-modulej otn. kotenzornogo proizvedeniya); (v) levye A^#-moduli sut' to zhe samoe, chto levye S-moduli; (vi) kategoriya N-svobodnyh levyh A-modulej ekvivalentna kategorii N-kosvobodnyh levyh S-modulej; (vii) kategoriya N-svobodnyh pravyh A^#-modulej ekvivalentna kategorii N-kosvobodnyh pravyh S-modulej. Lenya. From: Leonid Positselski < posic@mccme.ru > To: roma, hippie Date: Fri, 1 Sep 2000 09:59:50 +0400 (MSD) Subject: demystifying A^#, tret'ya chast' (s ispravleniyami i dopolneniyami) Lines: 120 III. Komodul'naya algebra S i moduli nad nej. Opisanie, ne ispol'zuyuschee ni podalgebru B, ni graduirovku. Beskonechnomernyj sluchaj. Kak vsegda, snachala otstuplenie. Pust' N -- algebra, a C -- koalgebra (nad tem zhe polem). Ya napominayu, chto na vektornom prostranstve C^* est' estestvennaya struktura algebry (prichem takaya, chto vsyakij C-komodul' yavlyaetsya C^*-modulem). Pust' zadan f: N\to C^* -- gomomorfizm algebr so vsyudu plotnym obrazom. Drugimi slovami, dolzhno byt' zadano sparivanie C\otimes N \to k, soglasovannoe so strukturami algebry i koalgebry i nevyrozhdennoe po pervomu argumentu. Zadanie N, C i f ekvivalentno zadaniyu v kategorii (skazhem, levyh) N-modulej polnoj podkategorii s takimi svojstvami: ona zamknuta otnositel'no pod- i faktorob`jektov (no ne obyazatel'no otnositel'no rasshirenij!) i vsyakij modul' iz etoj podkategorii yavlyaetsya ob`jedineniem svoih konechnomernyh podmodulej. A imenno, trojke (N, C, f) sootvetstvuet vpolne strogij funktor "ogranicheniya skalyarov" f^*: C-comod \to N-mod. Tipichnyj primer: esli H -- algebraicheskaya gruppa (nad polem harakteristiki 0), to s nej svyazana trojka (N, C, f), gde N=U(h), h -- algebra Li gruppy H, i C=C(H) -- koalgebra funkcij na H. Eta trojka sootvetstvuet podkategorii v U(h)-mod, sostoyaschej iz teh predstavlenij, kotorye integriruyutsya na H. Drugoj primer: esli N -- graduirovannaya algebra, takaya chto vse N_i konechnomerny i N_i=0 dlya i<<0, to mozhno vzyat' v kachestve C graduirovanno-dvojstvennoe k N prostranstvo N^*. Togda N^*-komoduli -- eto N-moduli s tem svojstvom, chto dlya lyubogo elementa x iz takogo modulya N_i x = 0 dlya vseh i>>0. Banal'nyj primer: esli N konechnomerna, to mozhno vzyat' C=N^*. Togda vse N-moduli yavlyayutsya C-komodulyami. Konec otstupleniya. Itak, pust' zadana trojka (N, C, f). Ya budu schitat', chto kategorii C-komodulej (levyh i pravyh) vlozheny v sootvetstvuyuschie kategorii N-modulej posredstvom f^*. Sootvetstvenno, vyskazyvanie tipa "takoj-to pravyj N-modul' yavlyaetsya C-komodulem" oznachaet, chto etot modul' prinadlezhit podkategorii C-komodulej v pravyh N-modulyah. Teper' v tenzornoj kategorii N-bimodulej est' takaya tenzornaya podkategoriya: bimodul' E prinadlezhit etoj podkategorii, esli dlya lyubogo pravogo C-komodulya M pravyj N-modul' M\ot_N E yavlyaetsya C-komodulem. (Dostatochno, chtoby bimodul' C\ot_N E yavlyalsya pravym C-komodulem.) Est' takzhe uzhe znakomaya nam polnaya podkategoriya N-bimodulej, svobodnyh nad N sleva. Menya interesuet peresechenie etih dvuh podkategorij, t.e. bimoduli, udovletvoryayuschie oboim usloviyam. Ya budu nazyvat' takie bimoduli (N,C,f)-dopustimymi sleva. Ya utverzhdayu, chto funktor E \mapsto C\ot_N E yavlyaetsya tenzornym funktorom iz (N,C,f)-dopustimyh sleva bimodulej v bikomoduli nad C (otnositel'no kotenzornogo proizvedeniya). Takim obrazom, esli algebra N yavlyaetsya podalgebroj algebry A, prichem poslednyaya (N,C,f)-dopustima sleva, to S = C\ot_N A est' algebra v kategorii bikomodulej nad C. Bolee togo, pust' M -- pravyj C-komodul'. Togda zadat' na M stukturu pravogo A-modulya (prodolzhayuschuyu strukturu N-modulya, svyazannuyu s zadannoj strukturoj C-komodulya) -- eto to zhe samoe, chto zadat' na M strukturu pravogo modulya, otnositel'no kotenzornogo proizvedeniya, nad "komodul'noj algebroj" S. Drugimi slovami, polnaya podkategoriya v kategorii pravyh A-modulej, sostoyaschaya iz teh modulej, kotorye, kak N-moduli, yavlyayutsya C-komodulyami, izomorfna kategorii pravyh modulej nad S. Eto takoe beskonechnomernoe obobschenie svojstva (iv) iz predyduschego pis'ma. Oba utvervzhdeniya sleduyut iz takoj formuly "associativnosti" dlya tenzornogo i kotenzornogo proizvedenij, obobschayuschej formulu (1): dlya lyubogo pravogo C-komodulya P i levogo N-modulya Q imeetsya estestvennoe otobrazhenie P \ot_N Q \to P\oc_C (C\ot_N Q), yavlyayuscheesya izomorfizmom, esli Q svoboden ili P kosvoboden. Na samom dele, voobsche, dlya lyubyh (ne svyazannyh) algebry N i coalgebry C, komodulya P i modulya Q, a takzhe prostranstva T s kommutiruyuschimi strukturami levogo C-komodulya i pravogo N-modulya est' estestvennoe otobrazhenie (P\oc_C T) \ot_N Q \to P \oc_C (T\ot_N Q), yavlyayuscheesya izomorfizmom, esli Q svoboden ili P kosvoboden, kakov by ni byl T. Takim obrazom, v kachestve argumentov funktora polubeskonechnogo Tor-a sleduet ispol'zovat': - vmesto graduirovannyh pravyh A-modulej, ogranichennyh sverhu, togda kak algebra N graduirovana polozhitel'no, kak eto bylo u Serezhi -- pravye moduli nad "komodul'noj algebroj" S = C\ot_N A; - vmesto levyh A^#-modulej, ogranichennyh sverhu -- levye moduli nad S [sm. predyduschee pis'mo, svojstvo (v)]. Okonchanie sleduet. Lenya. P.S. Zamechanie: Kak i v predyduschem pis'me, zdes' vazhno, chtoby komodul'naya algebra S byla C-kosvobodna ne tol'ko sleva (chto imeet mesto po postroeniyu), no i sprava. Eto trebuetsya, v chastnosti, dlya togo, chtoby kategoriya levyh modulej nad S byla abelevoj (sm. takzhe punkt 3 v konce chetvertogo pis'ma). Pust' A = N\ot_k V kak levyj N-modul', gde V -- kakoe-to vektornoe prostranstvo. Togda S = C\ot_N A = C\ot_k V. Struktura pravogo C-komodulya na S zadaetsya nekotorym otobrazheniem S \to S\ot_k C. Oboznachim cherez \psi_V kompoziciyu otobrazhenij C\ot_k V = S \to S\ot_k C = C\ot_k V\ot_k C \to V\ot_k C, gde poslednyaya strelka poluchaetsya primeneniem koedinicy k pervomu somnozhitelyu. Kak legko videt', eto takoe obobschenie otobrazheniya \psi iz pervogo pis'ma. Dlya togo, chtoby S byla C-kosvobodna sprava, ochevidno, dostatochno, chtoby suschestvovalo podprostranstvo V \subset A, dlya kotorogo \psi_V obratimo. From: Leonid Positselski < posic@mccme.ru > To: roma, hippie Date: Fri, 1 Sep 2000 10:03:19 +0400 (MSD) Subject: demystifying A^#, okonchanie (s ispravleniyami i dopolneniyami) Lines: 364 IV. Kontramoduli. Opisanie kategorii, kotoruyu probegaet vtoroj argument funktora polubeskonechnogo Ext-a. Netrivial'no uzhe v konechnomernom sluchae; rabotaet i v beskonechnomernom. Ya nachnu etot poslednij punkt nastoyaschih zametok s dlinnogo vvedeniya (v popytke ob`yasnit', kakaya zadacha reshaetsya). V razumnom smysle, v beskonechnomernom sluchae algebra A (ili A^#) soderzhit v sebe bol'she informacii, chem komodul'naya algebra S. Chtoby postroit' A^# po S, kak ob`yasnyalos' v pervom pis'me, nuzhno imet' podalgebru B. Ne ispol'zuya B, po S mozhno tol'ko vosstanovit' nekotorye popolneniya algebr A i A^#: a imenno, A~ = End_{S-left}(S)^op i A^{#~} = End_{S-right}(S) -- endomorfizmy S kak levogo ili pravogo S-modulya. V samom dele, End_{S-right}(S) = End_{A-right}(S) = Hom_{N-right}(C, C\ot_N A) = Hom_{C-right}(C, B\ot_k C) = Hom_k(C,B) kak vektornoe prostranstvo (pervoe ravenstvo imeet mesto vvidu ekvivalentnosti kategorij modulej iz poslednego pis'ma, tret'e ravenstvo -- v silu podhodyaschej versii izomorfizma \psi). Drugimi slovami, po komodul'noj algebre S nel'zya (vidimo) vosstanovit' vsyu kategoriyu pravyh A-modulej, a mozhno tol'ko "kategoriyu O" -- podkategoriyu teh modulej, kotorye yavlyayutsya C-komodulyami. Vysheopisannoe popolnenie algebry A -- eto to samoe popolnenie, kotoroe dejstvuet na modulyah iz "kategorii O". (V konechnomernom sluchae etih razlichij net, konechno.) Ya napomnyu, chto (kak uchil nas Serezha) argumentami funktora polubeskonechnogo Ext-a yavlyayutsya: - Pervyj argument ("otkuda") -- levye A^#-moduli, ogranichennye sverhu. Na yazyke komodul'noj algebry S eto budut levye S-moduli. - Vtoroj argument ("kuda") -- levye A-moduli, ogranichennye snizu. Esli algebra N beskonechnomerna, to takie moduli ne yavlyayutsya dazhe C-komodulyami. Do sih por my ne umeli opisyvat' ni takie N-moduli v terminah koalgebry C, ni, tem bolee, takie A-moduli v terminah komodul'noj algebry S. Nizhe budet ob`yasneno, kak postroit' v terminah komodul'noj algebry S abelevu kategoriyu, iz kotoroj beretsya vtoroj argument funktora polubeskonechnogo Ext-a. Kak ni stranno, etot vopros netrivialen uzhe v konechnomernom sluchae, poskol'ku -- sm. utverzhdeniya (iv-vii) iz vtorogo pis'ma -- my poka ne umeem vosstanavlivat' v terminah S kategoriyu vseh *levyh* A-modulej (ili, naoborot, pravyh A^#-modulej), a umeem tol'ko kategorii pravyh A-modulej i levyh A^#-modulej, a takzhe *N-svobodnyh* levyh A-modulej i pravyh A^#-modulej. Konechno zhe, v kachestve vtoryh argumentov polubeskonechnogo Ext-a my hotim imet' dostatochno proizvol'nye moduli, a ne tol'ko N-svobodnye. Abeleva kategoriya "kontramodulej", kotoruyu ya postroyu po komodul'noj algebre S, v konechnomernom sluchae sovpadaet s kategoriej levyh A-modulej. I kak ni udivitel'no, udaetsya dazhe obobschit' ekvivalentnosti kategorij N-svobodnyh i N-kosvobodnyh modulej [utv. (vi-vii) iz vtorogo pis'ma] na beskonechnomernyj sluchaj; tak chto, veroyatno, obobschaetsya i opredelenie pobeskonechnogo Ext-a imeni Romy. Itak, snachala otstuplenie. Byvayut moduli, byvayut komoduli, a byvayut esche kontramoduli. Po beskonechnomernoj koalgebre C mozhno postroit', naryadu s kategoriyami levyh i pravyh C-komodulej, dve drugih abelevyh kategorii -- levyh i pravyh C-kontramodulej. Delaetsya eto tak. Vektornye prostranstva (nad fiksirovannym polem k) obrazuyut tenzornuyu kategoriyu. Poetomu mozhno rassmatrivat' algebry ili koalgebry v etoj tenzornoj kategorii; eto obychnye algebry i koalgebry. Teper', esli nas interesuyut moduli ili komoduli nad takimi algebrami ili koalgebrami, to mozhno opredelyat' takie (ko)moduli kak ob`ekty toj zhe samoj kategorii Vect. Eto budut obychnye moduli ili komoduli. No mozhno takzhe vybrat' kakuyu-nibud' *modul'nuyu kategoriyu* nad tenzornoj kategoriej Vect, to est' kategoriyu M vmeste s funktorom "dejstviya" Vect\times M \to M, vmeste s associativnost'yu sootvetstvuyuschej -- i rassmatrivat' ob`ekty etoj modul'noj kategorii, nadelennye strukturoj (ko)modulya nad fiksirovannoj (ko)algebroj iz Vect. Na kategorii Vect^op, protivopolozhnoj k Vect, imeetsya struktura (levoj) modul'noj kategorii nad Vect, kotoraya zadaetsya formuloj (V, W^op) \mapsto Hom_k(V,W)^op. Eto modul'naya kategoriya, poskol'ku imeet mesto izomorfizm Hom(U\ot_k V, W) = Hom(U, Hom(V,W)). Struktura pravoj modul'noj kategorii poluchitsya, esli v kachestve "konstreinta associativnosti" ispol'zovat' drugoj izomorfizm: Hom(U\ot_k V, W) = Hom(V, Hom(U,W)). Teper' esli B -- algebra v Vect, to kontramodulem nad B nazyvaetsya B-modul' v modul'noj kategorii Vect^op nad Vect. Tochnee skazat', levym B-kontramodulem nazyvaetsya ob`ekt kategorii, protivopolozhnoj k kategorii modulej nad B v *pravoj* modul'noj kategorii Vect^op (tak chto zabyvayuschij funktor iz kontramodulej v Vect kovarianten). Poprostu govorya, kontramodul' -- eto vektornoe prostranstvo V vmeste s otobrazheniem V \to Hom_k(B,V), kotoroe dolzhno udovletvoryat' nekotorym usloviyam associativnosti i edinicy. Odnako, zadat' otobrazhenie V \to Hom_k(B,V) -- eto to zhe samoe, chto zadat' otobrazhenie B\ot_k V \to V; otsyuda levye B-kontramoduli sut' to zhe samoe, chto levye B-moduli. Ne tak dlya koalgebr. Opredelenie takoe zhe: esli C -- koalgebra v Vect, to levym kontramodulem nad C nazyvaetsya ob`ekt kategorii, protivopolozhnoj k kategorii komodulej nad C v pravoj modul'noj kategorii Vect^op nad Vect. Drugimi slovami, kontramodul' nad C -- eto vektornoe prostranstvo V vmeste s otobrazheniem Hom_k(C,V) \to V, udovletvoryayuschim usloviyam koassociativnosti i koedinicy takogo vida: dva otobrazheniya iz vektornogo prostranstva Hom_k(C, Hom_k(C,V)) = Hom_k(C\ot C, V) v prostranstvo V -- odno poluchayuscheesya iterirovaniem operacii "kontradejstviya" i drugoe zavisyaschee ot koumnozheniya na C -- dolzhny sovpadat'; kompoziciya otobrazhenij V \to Hom_k(C,V) \to V, gde pervaya strelka svyazana s koediniciej C, a vtoraya est' "kontradejstvie", dolzhna byt' tozhdestvennym otobrazheniem. Na vsyakom C-kontramodule (tak zhe, kak i na vsyakom C-komodule) imeetsya estestvennya struktura modulya nad algebroj C^*, poskol'ku prostranstvo C^*\ot_k V vkladyvaetsya v Hom_k(C,V). Vse tri kategorii (levye C-komoduli, levye C-kontramoduli i levye C^*-moduli) sovpadayut, esli koalgebra C konechnomerna; v protivnom sluchae, oni vse tri raznye. (V chastnosti, hotya operacii beskonechnoj pryamoj summy i beskonechnogo pryamogo proizvedeniya suschestvuyut na vseh treh kategoriyah, no funktor iz C-komodulej v C^*-moduli soglasovan tol'ko s beskonechnoj summoj, a funktor iz C-kontramodulej v C^*-moduli -- tol'ko s beskonechnym proizvedeniem, no ne naoborot.) Primery: (1) Esli M -- pravyj komodul' nad C i U -- proizvol'noe vektornoe prostranstvo, to na prostranstve Hom_k(M,U) imeetsya estestvennaya struktura levogo kontramodulya nad C. Bolee obscho, esli na M est' struktura levogo D-(ko)modulya, kommutiruyuschaya so strukturoj pravogo C-komodulya, a U -- kakoj-to D-(ko)modul', to Hom_D(M,U) yavlyaetsya levym kontramodulem nad C. (2) Pust' N -- graduirovannaya algebra s konechnomernymi komponentami, takaya chto N_i=0 dlya i<<0, i pust' N^* -- graduirovanno-dvojstvennaya koalgebra. Togda esli M -- graduirovannyj levyj N-modul', ogranichennyj snizu, to na pryamom proizvedenii graduirovochnyh komponent modulya M est' estestvennaya struktura levogo kontramodulya nad N^*. Kontramoduli vida Hom_k(C,U), gde koalgebra C rassmatrivaetsya kak pravyj komodul' nad soboj, a U -- proizvol'noe vektornoe prostranstvo, nazyvayutsya svobodnymi C-kontramodulyami. Korotkoe oboznachenie: Hom_k(C,U) =: U^C. Uprazhnenie: imeet mesto kanonicheskij izomorfizm (a) Hom_{C-contra}(U^C, P) = Hom_k(U,P) dlya lyubogo levogo C-kontramodulya P. A sleduyuschee uprazhnenie ya sam ne umeyu reshat': verno li, chto konechnomernye kontramoduli nad beskonechnomernoj koalgebroj C -- eto to zhe samoe, chto konechnomernye komoduli; to est', drugimi slovami, chto vsyakij konechnomernyj C-kontramodul' yavlyaetsya kontramodulem nad konechnomernoj podkoalgebroj C? (Otvet: neverno. Pust' C -- takaya koalgebra, chto algebra C^* imeet vid C^* = ke_1 \oplus e_1V^*e_2 \oplus ke_2, gde e_1 i e_2 -- idempotenty, e_1 + e_2 = 1, a V -- kakoe-to vektornoe pr-vo. Togda kategoriya C-komodulej ekvivalentna kategorii par vektornyh prostranstv (M_1,M_2), snabzhennyh otobrazheniem M_2 \to V\ot M_1; a kategoriya C-kontramodulej ekvivalentna kategorii par vektornyh prostranstv (P_1, P_2), snabzhennyh otobrazheniem Hom(V,P_2) \to P_1. Esli V beskonechnomerno, to konechnomernyh kontramodulej bol'she, chem konechnomernyh komodulej. Voobsche, esli X i Y -- dva konechnomernyh komodulya nad koalgebroj C, to Ext^i_{C-contra}(X,Y) = (Ext^i_{C-comod}(X,Y))^** -- dvazhdy dvojstvennoe vektornoe prostranstvo. V to zhe vremya, klassy neprivodimyh C-kontramodulej i neprivodimyh C-komodulej nahodyatsya v biektivnom sootvetstvii -- sm. Dobavlenie v konce vtorogo pis'ma serii 2002 goda. (Dobavleno v iyune 2006 goda.)) Konec otstupleniya. Est' dve operacii tipa tenzornogo proizvedeniya, opredelennye na komodulyah i kontramodulyah. A imenno, esli M -- pravyj C-komodul', a P -- levyj C-kontramodul', to kontratenzornoe proizvedenie M \ocn_C P opredelyaetsya kak faktorprostranstvo vektornogo prostranstva M\ot_k P po obrazu otobrazheniya iz M \ot_k Hom_k(C,P), gde poslednee otobrazhenie est' raznost' dvuh: odno proiskhodit iz kontradejstviya na P, drugoe ravno kompozicii M \ot_k Hom_k(C,P) \to M\ot_k C \ot_k Hom_k(C,P) \to M\ot_k P, gde pervaya strelka -- kodejstvie na M, a vtoraya -- podstanovka ("evaluation"). Esli M yavlyaetsya D-C-bikomodulem, to M\ocn_C P okazyvaetsya levym D-komodulem. Dalee, esli M -- levyj C-komodul', a P -- levyj C-kontramodul', to prostranstvo Cohom_C(M,P) est' faktoprostranstvo prostranstva Hom_k(M,P) po obrazu ochevidnogo otobrazheniya iz Hom_k(C\ot_k M, P) = Hom_k(M, Hom_k(C,P)). Esli M yavlyaetsya C-D-bikomodulem, to na prostranstve Cohom_C(M,P) poyavlyaetsya struktura levogo D-kontramodulya. Nikakoj operacii proizvedeniya dvuh kontramodulej, po-vidimomu, ne suschestvuet. To est' kontramoduli vedut sebya, kak obobschennye funkcii (kotorye mozhno umnozhat' tol'ko na obychnye funkcii, a mezhdu soboj nel'zya). Vazhnejshie tozhdestva, vklyuchayuschie dve vysheopredelennye operacii, takovy. Dlya kontratenzornogo proizvedeniya: (b) Hom_{D-comod}(M\ocn_C P, L) = Hom_{C-contra}(P, Hom_{D-comod}(M,L)) dlya lyubyh D-C-komodulya M, levogo D-komodulya L i levogo C-kontramodulya P. Iz formul (a) i (b) srazu sleduet, chto kontratenzornoe proizvedenie na svobodnyj kontramodul' est' (c) M \ocn_C U^C = M \ot_k U. Tozhdestvo dlya prostranstva kogomomorfizmov: (d) Cohom_D(M\oc_C L, P) = Cohom_C(L, Cohom_D(M,P)) dlya lyubyh D-C-komodulya M, levogo C-komodulya L i levogo D-kontramodulya P. Est' takzhe formuly dlya kogomomorfizmov iz kosvobodnogo komodulya ili v svobodnyj kontramodul': (e) Cohom_C(C, P) = P; (f) Cohom_C(M, U^C) = Hom_k(M,U). Iz svojstva (b) vidno, v chastnosti, chto mezhdu kategoriyami C-comod i C-contra imeetsya para sopryazhennyh funktorov: L \mapsto Hom_{C-comod}(C,L) i P \mapsto C\ocn_C P. Iz formuly (c) yasno, chto ogranicheniya etih dvuh funktorov na polnye podkategorii kosvobodnyh komodulej i svobodnyh kontramodulej yavlyayutsya vzaimno-obratnymi ekvivalentnostyami mezhdu etimi podkategoriyami. Nakonec, svojstva (d) i (e) oznachayut, chto operaciya Cohom opredelyaet na kategorii (C-contra)^op strukturu pravoj modul'noj kategorii nad tenzornoj kategoriej C-bicomod-C (s kotenzornym proizvedeniem). Pust' teper' S -- algebra v kategorii bikomodulej nad koalgebroj C. Levym kontramodulem nad S nazyvaetsya ob`ekt kategorii, protivopolozhnoj k kategorii S-modulej v vyshenazvannoj pravoj modul'noj kategorii (C-contra)^op nad C-bicomod-C; drugimi slovami, levyj kontramodul' M nad komodul'noj algebroj S -- eto levyj C-kontramodul', snabzhennyj gomomorfizmom C-kontramodulej M \to Cohom_C(S,M), udovletvoryayuschim usloviyam associativnosti i edinicy takogo vida: dva otobrazheniya iz M v prostranstvo Cohom_C(S\oc_C S, M) = Cohom_C(S, Cohom_C(S, M)) dolzhny sovpadat', a kompoziciya M \to Cohom_C(S,M) \to Cohom_C(C,M) = M, gde vtoraya strelka inducirovana otobrazheniem edinicy algebry S, dolzhna byt' tozhdestvennym otobrazheniem. Granichnye sluchai: esli S=C, to S-kontramoduli -- eto prosto kontramoduli nad koalgebroj C. Esli C=k, to S -- eto obychnaya algebra v Vect, a S-kontramoduli -- eto obychnye moduli nad S (kak ob`yasnyalos' vyshe). Predosterezhenie: esli koalgebra C konechnomerna (ili dazhe S konechnomerna), to, hotya C-komoduli i C-kontramoduli sut' odno i to zhe, no S-moduli (to est' C-komoduli so strukturoj S-modulej -- te, chto obsuzhdalis' v predyduschem pis'me) i S-kontramoduli -- eto raznye veschi! Mozhno skazat', chto levye S-moduli -- eto levye A^#-moduli, a levye S-kontramoduli -- eto levye A-moduli (sm. nizhe). Itak, ya dal opredelenie iskomoj kategorii. Ya polagayu, chto argumentami funktora polubeskonechnogo Ext-a dolzhny byt': - pervyj argument ("otkuda") -- levye S-moduli; - vtoroj argument ("kuda") -- levye S-kontramoduli. Dalee, esli M -- pravyj S-modul' i U -- proizvo'noe vektornoe prostranstvo, to na prostranstve Hom_k(M,U) poyavlyaetsya estestvennaya struktura levogo S-kontramodulya. Dlya takih kontramodulej dolzhna imet' mesto formula, svyazyvayuschaya polubeskonechnye Ext i Tor: Ext^{\inf/2}(M_1, Hom_k(M_2,U)) = Hom_k(Tor_{\inf/2}(M_2, M_1), U). Zamechanie: kategoriya vseh levyh modulej nad komodul'noj algebroj S yavlyaetsya abelevoj, esli S kosvobodna (ili hotya by in`ektivna) nad C sprava. Kategoriya levyh kontramodulej nad S abeleva, esli S kosvobodna (ili in`ektivna) sleva. V ostavshejsya chasti etogo teksta korotko opisyvayutsya tri konstrukcii: 1) funktor Cohom dlya S-modulej i S-kontramodulej, -- ego proizvodnym funktorom dolzhen byt' polubeskonechnyj Ext; 2) ekvivalentnost' mezhdu levymi A-modulyami i levymi S-kontramodulyami v situacii, kogda komodul'naya algebra S stroitsya po algebre A s podalgebroj N, t.e. S = C\ot_N A -- eto takoj analog utverzhdenij (iv-v) iz vtorogo pis'ma, a takzhe osnovnogo rezul'tata tret'ego pis'ma; i 3) ekvivalentnost' mezhdu C-kosvobodnymi levymi S-modulyami i C-svobodnymi levymi S-kontramodulyami -- eto analog utverzhdenij (vi-vii) iz vtorogo pis'ma. 1) Esli M -- levyj S-modul', a P -- levyj S-kontramodul', to prostranstvo Cohom_S(M,P) opredelyaetsya kak yadro otobrazheniya Cohom_C(M,P) \to Cohom_C(S\oc M, P) = Cohom_C(M, Cohom_C(S,P)), ravnogo raznosti dvuh -- odnogo svyazannogo s S-modul'noj strukturoj na M, drugogo -- s S-kontramodul'noj strukturoj na P. 2) Pust' A -- obychnaya algebra, N -- ee podalgebra, takaya chto A -- svobodnyj levyj N-modul', C -- koalgebra, i f: N \to C^* -- gomomorfizm algebr s plotnym obrazom, kak v tret'em pis'me. Predpolozhim, chto S = C\ot_N A yavlyaetsya pravym C-komodulem; togda na S poyavlyaetsya struktura komodul'noj algebry nad C. V tret'em pis'me ob`yasnyalos', chto kategoriya pravyh modulej nad S ekvivalentna kategorii pravyh A-modulej, yavlyayuschihsya C-komodulyami. Ya utverzhdayu, chto imeetsya analogichnaya ekvivalentnost' dlya kontramodulej -- s toj raznicej, chto pri etom poluchayutsya levye A-moduli. Tochnee govorya, kak my znaem, na vsyakom C-kontramodule est' struktura C^*-modulya; sledovatel'no, est' i inducirovannaya struktura N-modulya. Dalee, dlya lyubogo levogo N-modulya M i levogo C-contramodulya P imeetsya estestvennoe otobrazhenie (g) Cohom_C(C\ot_N M, P) \to Hom_N(M,P), yavlyayuscheesya izomorfizmom, esli modul' M svoboden ili kontramodul' P svoboden. Rassmotrim takuyu kategoriyu: ee ob`ekty sut' levye A-moduli P, snabzhennye dopolnitel'no strukturoj levogo C-kontramodulya. Eti dve struktury dolzhny udovletvoryat' takim dvum usloviyam soglasovannosti: vo-pervyh, struktury levogo N-modulya na P, inducirovannye s etih dvuh struktur, sovpadayut. Vo-vtoryh, rassmotrim otobrazhenie P \to Hom_N(A,P), sootvetstvuyuschee otobrazheniyu dejstviya A\ot_N P \to P. Po postroeniyu, eto gomomorfizm N-modulej. Trebuetsya, chtoby eto byl gomomorfizm C-contramodulej, gde struktura C-kontramodulya na prostranstve Hom_N(A,P) proiskhodit iz ego izomorfizma (g) s prostranstvom Cohom_C(S,P). Postroennaya kategoriya izomorfna kategorii levyh kontramodulej nad komodul'noj algebroj S po opredeleniyu; nuzhno tol'ko proverit' soglasovannost' dvuh vidov uslovij associativnosti i edinicy pri izomorfizme (g). Zametim, chto esli algebra N konechnomerna i C=N^*, to struktury levogo C-kontramodulya i levogo N-modulya ekvivalentny, tak chto kategoriya levyh kontramodulej nad S okazyvaetsya izomorfnoj kategorii levyh A-modulej -- kak i bylo obeschano vo vvedenii. Uprazhnenie: pust' my nahodimsya v situacii imeni Serezhi, t.e. A i N -- graduirovannye algebry, vse komponenty N konechnomerny, i N_i=0 dlya i<<0. Pust' C=N^* -- graduirovannaya dvojstvennaya koalgebra, kak v primere (2) vyshe. Predpolozhim, chto mozhno postroit' komodul'nuyu algebru S = C\ot_N A, kak opisano vyshe, to est' N-bimodul' A "dopustim sleva" v smysle tret'ego pis'ma. Predpolozhim dopolnitel'no, chto A = N\ot_k V kak levyj N-modul', gde graduirovannoe vektornoe prostranstvo V ogranicheno sverhu. Pust' M -- graduirovannyj levyj A-modul', ogranichennyj snizu. Togda na prostranstve \prod_i M_i imeetsya estestvennaya struktura levogo kontramodulya nad S, prodolzhayuschaya strukturu C-kontramodulya, opisannuyu v primere (2). 3) Ekvivalentnost' kategorij kosvobodnyh levyh C-komodulej i svobodnyh levyh C-kontramodulej byla postroena vyshe: M \mapsto Hom_{C-comod}(C,M) i P \mapsto C\ocn_C P. Ostaetsya proverit', chto pri etoj ekvivalentnosti stuktury S-modulya na C-komodule biektivno sootvetstvuyut strukturam S-kontramodulya na sootvetstvuyuschem C-kontramodule. Poslednee verno, po krajnej mere, pri tom predpolozhenii, chto komodul'naya algebra S kosvobodna nad C sleva i sprava. Iskomoe sootvetstvie proiskhodit iz takogo estestvennogo izomorfizma prostranstv Hom: (h) Hom_{C-comod}(S\oc_C (C\ocn_C P), M) = Hom_{C-contra}(P, Cohom_C(S,Hom_C(C,M)), kotoryj imeet mesto dlya lyubogo levogo komodulya M, levogo kontramodulya P, i kosvobodnogo sleva i sprava bikomodulya S. Formula (h), v svoyu ochered', yavlyaetsya sledstviem formuly (b) i sleduyuschih dvuh svojstv "associativnosti" tenzornyh operacij. Vo-pervyh, dlya lyubogo pravogo C-komodulya L, C-D-bikomodulya E i levogo D-kontramodulya P imeetsya estestvennoe otobrazhenie (j) (L\oc_C E) \ocn_D P \to L\oc_C (E \ocn_D P), kotoroe yavlyaetsya izomorfizmom, esli L kosvoboden ili P svoboden. Vo-vtoryh, dlya lyubogo levogo C-komodulya L, D-C-bikomodulya E i levogo D-komodulya M imeetsya estestvennoe otobrazhenie (k) Cohom_C(L, Hom_{D-comod}(E,M)) \to Hom_D(E\oc_C L, M), kotoroe yavlyaetsya izomorfizmom, esli L ili M kosvoboden. Chtoby vyvesti (h), nuzhno podstavit' D=C, L=S i E=C. Vot, eto primerno vse, chto ya imeyu skazat'. Lenya. P.S. Zamechanie: Kstati, vot esche odna podobnogo roda formula. Dlya lyubogo D-C-bikomodulya E, levogo C-kontramodulya P i levogo D-kontramodulya Q imeetsya estestvennoe otobrazhenie (l) Cohom_D(E\ocn_C P, Q) \to Hom_{C-contra}(P, Cohom_D(E,Q)), yavlyayuscheesya izomorfizmom, esli P svoboden ili Q svoboden. Formulami (a-f) i (j-l) vrode by ischerpyvayutsya takie svojstva operacij, zavisyaschih ot ko- i kontramodul'nyh struktur. K etomu spisku sledovalo by esche dobavit' formuly, v kotorye vhodyat odnovremenno struktury ko/kontramodulej nad koalgebroj i struktury modulej nad algebroj. Odno iz takih tozhdestv bylo vypisano v konce tret'ego pis'ma, chastnym sluchaem drugogo yavlyaetsya formula (g), i t.d. Dobavlenie (aprel' 2006 goda). Vot esche odna poleznaya operaciya na ko- i kontramodulyah nad komodul'noj algebroj: kontratenzornoe proizvedenie nad S. Pust' M -- pravyj komodul' nad S i P -- levyj kontramodul' nad S. Po opredeleniyu, M\ocn_S P -- eto koyadro otobrazheniya (M\oc_C S)\ocn_C P \to M\ocn_C P, kotoroe yavlyaetsya raznost'yu sleduyuschih dvuh otobrazhenij. Vo-pervyh, eto otobrazhenie, inducirovannoe dejstviem M\oc_C S \to M. Vo-vtoryh, eto kompoziciya (M\oc_C S)\ocn_C P \to (M\oc_C S)\ocn_C Cohom_C(S,P) \to M\ocn_C P, gde pervoe komponuemoe otobrazhenie proiskhodit iz kontradejstviya S na P, a vtoroe komponuemoe otobrazhenie poluchaetsya iz togo, chto, kak mozhno proverit', kompoziciya M\oc_C S\ot_k Hom_k(S,P) \to M\ot_k S\ot_k Hom_k(S,P) \to M\ot_k P \to M\ocn_C P faktorizuetsya cherez surjekciyu M\oc_C S\ot_k Hom_k(S,P) \to (M\oc_C S)\ocn_C Cohom_C(S,P). Zametim, chto kontratenzornoe proizvedenie nad S -- tochnyj sprava funktor (po krajnej mere, esli S svobodna nad C sleva). Netrudno proverit' takzhe, chto (M\ocn_S P)^*=Hom_{S-contra}(P,M^*). Po-vidimomu, kogda C = N^* (N konechnomerna) i S = C\ot_N A, operaciya \ocn_S sootvetstvuet tenzornomu proizvedeniyu nad A.