(Ко)гомологии Хохшильда второго рода для CDG-алгебр
Развитие http://posic.livejournal.com/328196.html
Кажется, общий план соответствующей теории может быть примерно таким:
1. Когомологии Хохшильда второго рода CDG-алгебр над полем (как минимум) как CDG-бимодульные ExtII и TorII (см. параграф 3.12 статьи про "Два рода производных категорий...")
2. Аналогичное определение для CDG-категорий, и в частности, для DG-категорий
3. В случае конечной гомологической размерности (тензорного квадрата) подлежащей градуированной алгебры/категории, отождествление (ко)гомологий Хохшильда второго рода с Ext и Tor в производной категории второго рода CDG-бимодулей.
4. (Ко)гомологии Хохшильда второго рода одинаковы для CDG-алгебры и DG-категории CDG-бимодулей над ней, проективных и конечно-порожденных как градуированные модули
5. Естественное отображение между (ко)гомологиями Хохшильда первого и второго рода для произвольной DG-алгебры/категории
6. Которое не может быть в общем случае изоморфизмом, поскольку инвариантности относительно CDG-изоморфизмов и квазиизоморфизмов несовместимы
7. Самое интересное: достаточные условия для того, чтобы это отображение было изоморфизмом.
В связи с 7., можно для начала обратить внимание на такую тавтологию: пусть B -- CDG-кольцо, подлежащее градуированное кольцо которого имеет конечную гомологическую размерность. Тогда абсолютная производная категория CDG-бимодулей над B компактно порождена CDG-бимодулями, проективными и конечно порожденными как градуированные модули, тогда и только тогда, когда для DG-категории таких CDG-бимодулей (обозначим ее через C) абсолютная производная категория контравариантных DG-функторов из C в комплексы абелевых групп совпадает с их производной категорией. Дальше можно распространять это на DG-функторы между DG-категориями CDG-модулей.
Все пункты выше относятся к (ко)гомологиям Хохшильда второго рода CDG-алгебр. Для CDG-коалгебр надо просто определять (ко)гомологии Хохшильда второго рода и доказывать, что они изоморфны (ко)гомологиям Хохшильда (подходящего рода) для двойственной (С)DG-алгебры. И потом то же самое для циклических гомологий.
P.S. Вот еще интересный вопрос: что такое (ко)гомологии Хохшильда второго рода точной (C)DG-категории?
Кажется, общий план соответствующей теории может быть примерно таким:
1. Когомологии Хохшильда второго рода CDG-алгебр над полем (как минимум) как CDG-бимодульные ExtII и TorII (см. параграф 3.12 статьи про "Два рода производных категорий...")
2. Аналогичное определение для CDG-категорий, и в частности, для DG-категорий
3. В случае конечной гомологической размерности (тензорного квадрата) подлежащей градуированной алгебры/категории, отождествление (ко)гомологий Хохшильда второго рода с Ext и Tor в производной категории второго рода CDG-бимодулей.
4. (Ко)гомологии Хохшильда второго рода одинаковы для CDG-алгебры и DG-категории CDG-бимодулей над ней, проективных и конечно-порожденных как градуированные модули
5. Естественное отображение между (ко)гомологиями Хохшильда первого и второго рода для произвольной DG-алгебры/категории
6. Которое не может быть в общем случае изоморфизмом, поскольку инвариантности относительно CDG-изоморфизмов и квазиизоморфизмов несовместимы
7. Самое интересное: достаточные условия для того, чтобы это отображение было изоморфизмом.
В связи с 7., можно для начала обратить внимание на такую тавтологию: пусть B -- CDG-кольцо, подлежащее градуированное кольцо которого имеет конечную гомологическую размерность. Тогда абсолютная производная категория CDG-бимодулей над B компактно порождена CDG-бимодулями, проективными и конечно порожденными как градуированные модули, тогда и только тогда, когда для DG-категории таких CDG-бимодулей (обозначим ее через C) абсолютная производная категория контравариантных DG-функторов из C в комплексы абелевых групп совпадает с их производной категорией. Дальше можно распространять это на DG-функторы между DG-категориями CDG-модулей.
Все пункты выше относятся к (ко)гомологиям Хохшильда второго рода CDG-алгебр. Для CDG-коалгебр надо просто определять (ко)гомологии Хохшильда второго рода и доказывать, что они изоморфны (ко)гомологиям Хохшильда (подходящего рода) для двойственной (С)DG-алгебры. И потом то же самое для циклических гомологий.
P.S. Вот еще интересный вопрос: что такое (ко)гомологии Хохшильда второго рода точной (C)DG-категории?