Симметричное обобщение неоднородной квадратичной двойственности
Развитие постскриптума к http://posic.livejournal.com/385751.html
Неоднородная квадратичная двойственность -- это антиэквивалентность категорий неоднородных кошулевых алгебр и кошулевых CDG-алгебр. В эту формулировку зашито утверждение теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта для неоднородных деформаций квадратичных кошулевых соотношений.
Можно ли обобщить эту двойственность до "симметричной" двойственности между двумя одинаковыми или похожими категориями -- условно говоря, неоднородных кошулевых CDG-алгебр? Мне кажется, давным-давно (лет 10 назад) этот вопрос мне задавал нынешний юзер
hippie57. Как теперь ясно, ответ на этот вопрос положительный, с поправкой на некоторые тонкости.
Прежде всего, неоднородные кошулевы CDG-алгебры являются образованиями с двумя индексами -- размазанными не по прямой (в смысле целых чисел), а по плоскости (в смысле квадрата целых чисел). Хотя второй индекс может пробегать не Z, а Z/2Z.
Далее, самую обычную неоднородную кошулеву двойственность лучше все-таки формулировать как ковариантную эквивалентность категорий, связывающую неоднородные кошулевы алгебры и кошулевы CDG-коалгебры. Это позволяет избавиться от всех условий конечномерности векторных пространств. Проблема в том, что второй вариант -- соответствие между неоднородными кошулевыми коалгебрами и кошулевыми CDG-алгебрами -- имеет смысл только в предположении, что убывающая фильтрация на коалгебре обрывается, а квадратично двойственная кошулева алгебра, соответственно, имеет конечную гомологическую размерность. Если же условие конечности гомологической размерности не накладывать, то приходится накладывать условие конечномерности компонент. В остальном все работает.
Попросту, неоднородная кошулева CDG-алгебра -- это CDG-алгебра A, снабженная возрастающей фильтрацией F однородными подпространствами, согласованной с умножением и почти согласованной с дифференциалом: требуется, чтобы d(FiA) содержалось в Fi+1A. Элемент кривизны h должен содержаться в F2A, а элементы замены связности (на которые можно подкручивать CDG-структуру) -- в F1A. Присоединенная биградуированная факторалгебра grFA должна быть кошулевой в градуировке n, приходящей из индексов фильтрации F. Тогда на grFA индуцируется структура CDG-алгебры с дифференциалом, повышающим градуировку n на единицу и элементом кривизны в градуировке n=2. По этим данным можно построить двойственную неоднородную кошулеву алгебру B или коалгебру C (не забыв сдвинуть когомологическую градуировку, как полагается при кошулевой двойственности). А исходная неоднородная кошулева CDG-алгебра A определяет CDG-структуру на B или C.
Неоднородная квадратичная двойственность -- это антиэквивалентность категорий неоднородных кошулевых алгебр и кошулевых CDG-алгебр. В эту формулировку зашито утверждение теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта для неоднородных деформаций квадратичных кошулевых соотношений.
Можно ли обобщить эту двойственность до "симметричной" двойственности между двумя одинаковыми или похожими категориями -- условно говоря, неоднородных кошулевых CDG-алгебр? Мне кажется, давным-давно (лет 10 назад) этот вопрос мне задавал нынешний юзер
hippie57. Как теперь ясно, ответ на этот вопрос положительный, с поправкой на некоторые тонкости.Прежде всего, неоднородные кошулевы CDG-алгебры являются образованиями с двумя индексами -- размазанными не по прямой (в смысле целых чисел), а по плоскости (в смысле квадрата целых чисел). Хотя второй индекс может пробегать не Z, а Z/2Z.
Далее, самую обычную неоднородную кошулеву двойственность лучше все-таки формулировать как ковариантную эквивалентность категорий, связывающую неоднородные кошулевы алгебры и кошулевы CDG-коалгебры. Это позволяет избавиться от всех условий конечномерности векторных пространств. Проблема в том, что второй вариант -- соответствие между неоднородными кошулевыми коалгебрами и кошулевыми CDG-алгебрами -- имеет смысл только в предположении, что убывающая фильтрация на коалгебре обрывается, а квадратично двойственная кошулева алгебра, соответственно, имеет конечную гомологическую размерность. Если же условие конечности гомологической размерности не накладывать, то приходится накладывать условие конечномерности компонент. В остальном все работает.
Попросту, неоднородная кошулева CDG-алгебра -- это CDG-алгебра A, снабженная возрастающей фильтрацией F однородными подпространствами, согласованной с умножением и почти согласованной с дифференциалом: требуется, чтобы d(FiA) содержалось в Fi+1A. Элемент кривизны h должен содержаться в F2A, а элементы замены связности (на которые можно подкручивать CDG-структуру) -- в F1A. Присоединенная биградуированная факторалгебра grFA должна быть кошулевой в градуировке n, приходящей из индексов фильтрации F. Тогда на grFA индуцируется структура CDG-алгебры с дифференциалом, повышающим градуировку n на единицу и элементом кривизны в градуировке n=2. По этим данным можно построить двойственную неоднородную кошулеву алгебру B или коалгебру C (не забыв сдвинуть когомологическую градуировку, как полагается при кошулевой двойственности). А исходная неоднородная кошулева CDG-алгебра A определяет CDG-структуру на B или C.