Как известно, K2n(Fq) = 0 и K2n-1(Fq) = μqn-1⊗n; очевидно, это означает, что H1(Fq,Z(n)) = μqn-1⊗n при n > 0 и Hs(Fq,Z(n)) = 0 для n≠0, s≠1. Тот же ответ можно получить, посчитав Hs(Fq,Z(n)) через Hs(Fq,Q(n)) и Hs(Fq,Q/Z(n)). Переходя к прямому пределу, получаем K2n-1(Fq) ≅ Q/(Z[q-1]), где Фробениус FrFq действует умножением на qn.
а) Мотивы Тейта над Fq с Z[q-1]-коэффициентами: категория конечно-фильтрованных конечно-порожденных абелевых групп (M,F) с убывающей фильтрацией F, где действие q на (M,F) обратимо, снабженных расщеплением М⊗ZQ = grFM⊗ZQ над Q.
б) Мотивы Тейта над Fq с Z-коэффициентами: категория фильтрованных абелевых групп (M,F), снабженных расщеплением M⊗ZZ(p) = grFM⊗ZZ(p) над локализацией Z(p) кольца Z по простому идеалу pZ, где q = pk.
в) Мотивы Тейта над Fq с Z[q-1]-коэффициентами: категория фильтрованных абелевых групп (M,F) с обратимым действием q на (M,F) вместе с оператором φ: (M,F) → (M,F), таким что его действие на присоединенном факторе grFiφ: grFiM → grFiM есть умножение на qi.
г) Мотивы Тейта над Fq с Z-коэффициентами: категория фильтрованных абелевых групп (M,F) вместе с набором операторов φ(i): FiM → FiM, таких что ограничение φ(i) на FjM есть qj-iφ(j) и действие φ(i) на grFjM есть умножение на qj-i (где j≥i).
(Теперь хорошо бы еще мотивы Артина-Тейта над Fq c целыми коэффициентами в том же духе описать.)