Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Неплоская кошулевость

Развитие http://posic.livejournal.com/379662.html

Во-первых, вопрос по ссылке, кажется, не самый удачный из возможных. Самое интересное не то, при каких условиях на Extn(R,R(n)) отсутствие внедиагональных Ext1 и Ext2 влечет отсутствие внедиагональных высших Ext'ов. Самое интересное, что можно сказать о градуированном кольце Extn(R,R(n)) при условии, что внедиагональных Ext'ов нет. Какие градуированные кольца можно так получить? В отличие от вопроса по ссылке, к этому более интересному вопросу не очень понятно, как подступиться. Если тут и могут помочь операции Масси, то только при какой-то более возвышенной точке зрения.

Что касается вопроса по ссылке, то детали надо проверять, но предположительный ответ такой. Во-первых, почему Extn(R,R(m)) порождаются операциями Масси из Ext1? Вот почему: всякий такой Extn есть композиция Extn-1(R,X) и Ext1(X,R(m)), для некоторого объекта X из G. На объекте X есть фильтрация с присоединенными факторами из Gi; с этой фильтрацией связана последовательность классов Ext1 между присоединенными факторами. Вот наш класс Extn и является произведением Масси всех этих классов Ext1 между присоединенными факторами (стоящих посередине), класса Ext1 из того присоединенного фактора, который является подобъектом X, в R(m) (c одного из краев), и класса Extn-1 из R в тот присоединенный фактор, который является факторобъектом X (с другого края).

Если стартовать отсюда и рассуждать по индукции по n и m, то на вид очень похоже, что ответ на вопрос по ссылке будет такой. Нужное условие кошулевости на алгебру диагональных Ext'oв -- это условие точности комплекса Кошуля, построенного как тензорное произведение (над R) алгебры диагональных Ext'ов на квадратично двойственную к ее квадратичной части (которая совпадает с ней самой, если это условие выполнено) квадратичную коалгебру (или, лучше сказать, кокольцо). Здесь определение квадратичного кокольца в неплоском случае не вполне тривиально; его отображение в тензорное кокольцо может не быть вложением. По этому поводу см. старый недописанный текст, раздел 3.2. При таком определении ниоткуда вроде не следует, что левая кошулевость совпадает с правой кошулевостью; для положительного ответа на наш вопрос достаточно любого одного из этих двух свойств. [Вряд ли это правильный ответ, см. последующие постинги.]

А еще, например, кошулевость неотрицательно градуированной алгебры A с нулевой компонентой R можно определить условием зануления TorA(R,R) вне диагонали. Это условие лево-право симметрично, но не видно, чтобы оно было эквивалентно тому, что выше. Обычное доказательство с минимальными резольвентами не проходит, кажется.
Tags: math2
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 10 comments