Собственный взгляд и нечто - 2
Окончание http://posic.livejournal.com/361109.html
14. Производная категория мотивов меня изначально интересовала просто как место приложения гомологических техник, и прежде всего -- кошулевости. Результат про смешанные мотивы Тейта с конечными коэффициентами, при всей его важности, технически несложен (кажется). Основным моим (чисто психологическим) затруднением на пути его получения было недостаточное знакомство с понятием точной категории, и я провел немало времени, возясь с этими аксиомами, передоказав известный результат о том, что третья аксиома Квиллена следует из первых двух (на самом деле, там достаточно полутора аксиом из трех первоначальных).
Позже я вложил немало времени и сил в попытки получить обобщения -- на случай поля, не содержащего l-корня из единицы, на случай мотивов Артина-Тейта. В последней задаче виделась надежда на получение гипотез, связывающих когомологии Галуа поля и его расширений. Ни то, ни другое обобщение не получились; при этом если относительно первой задачи я уверился в отсутствии у нее решения в интересовавшем меня виде (на самом деле, она аналогична задаче о рациональных коэффициентах и поле характеристики 0), то вторая осталась не решенной ни в ту, ни в другую сторону. От занятий первой задачей Воеводский всегда меня отговаривал. Размышлял я также и о явных конструкциях других вариантов категории смешанных мотивов Тейта -- с целыми коэффициентами над конечным полем, в равных конечных характеристиках.
15. О производной неоднородной кошулевой двойственности я первоначально думал как о задаче восстановления производной категории модулей над (конечномерной) алгеброй Ли по DG-модулям над ее стандартным комплексом. Я, конечно, понимал, что стандартный комплекс редуктивной алгебры Ли с коэффициентами в нетривиальном неприводимом модуле ацикличен; понимал я и то, что стандартный комплекс как DG-алгебра квазиизоморфен своим когомологиям, а последние зависят только от инвариантов действия группы Вейля в функциях на картановской подалгебре. При всем этом я совершенно по-детски мечтал совместить несовместимое и восстановить производную категорию модулей над полупростой алгеброй Ли по классу квазиизоморфизма стандартного комплекса, т.е., по инвариантам группы Вейля. Я считал, что это было бы большим достижением в теории представлений.
Штурмовать эту задачу в лоб было трудно из-за большого количества посторонних отвлекающих подробностей, начиная с фробениусовости внешней алгебры, мешающей различать инъективные и проективные DG-модули, и т.д. Тем не менее, я предпринял одну атаку, и к моменту исчерпания сил получил некий ответ: производная категория g-модулей эквивалентна гомотопической категории C*(g)-модулей, свободных как градуированные модули. Как стало известно позже, это правильный ответ; разумеется, мне не было от него в той ситуации ни малейшей пользы, да и способ его получения я не запомнил.
В конце концов, уже в бытность мою постдоком в Принстоне, мы с Воеводским стали обсуждать DG-алгебры, он предлагал мне написать про них подробный текст, чтобы использовать его как источник ссылок. Я пожаловался ему на эту задачу, и он (как раньше Бернштейн) заявил, что эта задача явно разрешима, и что более того, ее нужно решить. Ну, и я ее решил. Мне как раз очень удачно попались под руки статьи Неемана, про гомотопические пределы в триангулированных категориях и проч. Решающим ходом мысли было: какие DG-модули бар-конструкция переводит в ацикличные? А вот, например, тотальные DG-модули точных троек она переводит даже в стягиваемые!
Постфактум можно предположить, что эту решить эту задачу было бы легче, если сразу думать про общий случай, когда нужно определять экзотическую производную категорию CDG-(ко)модулей. Никакая обычная производная категория, не относящаяся к делу, не мешалась бы при таком взгляде, поскольку в такой общности ее не существует. Позже этим путем пошли Келлер-Ловен-Николас, да только далеко они не ушли. Вместо этого, я мучительно размышлял про внешнюю алгебру с одной образующей. Разумеется, существовал еще и слишком легкий путь определения правой части желаемой эквивалентности категорий в терминах левой части, которым ходили многие авторы, но меня он никогда не привлекал.
16. Задачу определения полубесконечных когомологий ассоциативных алгебр нам поставил Фейгин; первоначальной формулировкой было "придумать что-нибудь гомологическое, так чтобы оно одновременно было и когомологическое". С моей тогдашней точки зрения, хорошая теория когомологий должна была сопоставляться какому-нибудь по-спартански простому объекту, типа произвольной ассоциативной алгебры. Без всяких там наворотов, лишних структур, и лишних симметрий. Мы даже попытались построить такую теорию, и конечно у нас ничего не получилось.
Чуть позже Сережа Архипов придумал свои полубесконечные гомологии и когомологии градуированной ассоциативной алгебры, разложенной в тензорное произведение двух подалгебр, положительно и неположительно градуированной. Почему-то у меня не было сомнений, что определение это в принципе правильное, в том случае, к которому оно применимо, и одновременно не было сомнений, что в таком виде оно никуда не годится. Было ясно, что изгнать обе подалгебры не получится, но как минимум, надо было изгнать одну из них, а на самом деле хотелось доказать, что полубесконечные когомологии можно восстановить по любой одной из двух подалгебр.
Сережу, между тем, как я понимаю, две подалгебры не смущали, но ему хотелось избавиться от градуировки, поскольку в его любимом примере (диагональ в квадрате алгебры Хопфа) никакой градуировки с вышеуказанными свойствами нет (хотя пара дополнительных подалгебр есть). Позже Рома Безрукавников, пытаясь разобрать вычисление Сережи полубесконечных когомологий малой квантовой группы с ее треугольным разложением, придумал свое собственное, совершенно другое определение полубесконечных когомологий (но не гомологий) ассоциативных алгебр. Его статью на эту тему Зергель завернул из Journ. of Algebra, потребовав избавиться от предположения фробениусовости одной из подалгебр. Мы втроем стали все это обсуждать, и одним из выводов было, что нужно для дальнейшего прогресса нужно "демистифицировать" конструкцию алгебры A#, существенно задействованную в Сережиной теории. Последняя сопоставляла группы "полубесконечных Tor-ов" правому модулю над A и левому модулю над A#, а группы "полубесконечных Ext-ов" -- левому модулю над A# и левому модулю над A.
Я стал думать про A# и модули над ней, и вскоре понял, что ключевую роль играет некая "полуалгебра" -- объект-алгебра в категории бикомодулей над коалгеброй. Для меня это было почти знакомое понятие, поскольку я уже имел дело (хотя и безуспешно) с двойственными образованиями -- объектами-коалгебрами в категориях бимодулей -- при попытках разобраться с мотивами Артина-Тейта (см. 14). После этого уже было ясно, что надо делать -- рассматривать не точный ни слева, ни справа функтор полутензорного произведения. Это предположительно объясняло полубесконечные гомологии; но откуда полубесконечные когомологии? Я стал думать, какого рода модули реально определяются Сережиными условиями на градуировки, и в итоге вспомнил, что что-то подобное я уже видел -- в IAS-овской библиотеке, когда, на радостях после открытия 15., изучал всю окрестную литературу. Это было определение контрамодуля из оригинальной статьи Эйленберга-Мура 65-го года. Результатом всего этого стало написание "летних писем 2000-го года", где обсуждались вопросы начиная с конструкций A# и кончая тензорными операциями на комодулях, контрамодулях, и полумодулях.
Оставалось построить производные функторы полутензорного произведения и полугомоморфизмов, но тут я уже заранее знал, где прикуп. Феномен, называемый по-научному "сбалансированностью" -- совпадение производных функторов Ext и Tor, взятых по первому и по второму аргументу -- занимал меня с детства, а в связи с 15. я успел продумать определения функторов Tor и Cotor для DG-алгебр и (C)DG-коалгебр, использующие соответственно производную и копроизводную категорию. В случае полуалгебры, было ясно, что нужно рассматривать смешанную, "полупроизводную" категорию. Единственной трудностью, которую потребовалось преодолевать, была необходимость строить вложение произвольного S-полумодуля в С-инъективный и сюрьекцию на произвольный S-полуконтрамодуль из С-проективного. В ситуации "двух подалгебр" (а не только "одной подалгебры") эта проблема легко решается, но никаких двух подалгебр я знать и видеть не хотел. В итоге мне удалось как-то задействовать интуицию образующих и соотношений для получения довольно запутанной конструкции, сохранившейся для истории в "летних письмах 2002-го года" (в окончательном изложении эта конструкция сильно упростилась до полной неузнаваемости). Точнее говоря, эта конструкция сразу давала C-коплоские комодульные, а после неких дополнительных усилий -- также и C-коинъективные контрамодульные резольвенты.
17. По воспоминаниям о старых беседах с Сережей, а главным образом по взгляде на функтор тензорного умножения на N* над N, который использовался в этой науке повсюду и в частности нужен был, чтобы обобщать конструкцию Ромы, было ясно, что надо строить эквивалентность экзотических производных категорий комодулей и контрамодулей, а дальше уже полумодулей и полуконтрамодулей. Для контрамодулей, тут можно было использовать функтор контратензорного произведения; его аналог для полуконтрамодулей я придумал позже, а поначалу в этом месте был некий окольный путь. Ключевой трудностью была необходимость строить приспособленные объекты, с той разницей, что если для построения полубесконечных когомологий достаточно было накрыть произвольный S-полуконтрамодуль C-коинънъективным, то для полумодульно-полуконтрамодульного соответствия уже нужны были настоящие C-проективные резольвенты. Эквивалентность свойств C-коинъективности и C-проективности удалось доказать только через четыре года.
18. Таким образом, удалось избавиться как от второй подалгебры, так и от градуировки; мечта же избавиться, альтернативным образом, от первой подалгебры и оставить только вторую не осуществилась и была признана неосуществимой. Следующий шаг должен был состоять в том, чтобы доказать теорему сравнения полубесконечных гомологий полуассоциативных полуалгебр и бесконечномерных алгебр Ли. Пикантность ситуации состояла в том, что Сережа давно и даже не один раз опубликовал решение этой задачи, только я ничего не мог понять в этом решении. Я долго копался в этом, постепенно повышая общность; в некоторый момент у меня была доказана теорема сравнения для случая только... конечномерной алгебры Ли. Ключевым шагом было доказательство изоморфизма "левой" и "правой" полуалгебр, связаннных с парой Хариш-Чандры. Прямо обобщить доказательство этого утверждения с конечномерного случая на бесконечномерный так и не удалось.
Естественное отображение, которое я построил в конечномерном случае, надо было подвергнуть какой-то регуляризации, чтобы оно имело смысл в бесконечномерном. Из этой процедуры регуляризации должно было, как обычно, вылезти каноническое центральное расширение тейтовской алгебры Ли. Я стал обсуждать это с Сережей, и оказалось, что он всегда мечтал избавиться от регуляризации (видимо, примерно так же, как я всегда мечтал избавиться от второй подалгебры). Я не имел ничего против регуляризации, но осуществить ее мне не удавалось. В итоге я пошел по пути, который предлагал Сережа, и получил, вместо конструкции изоморфизма, доказательство существования и единственности изоморфизма с определенными свойствами. В той мере, в которой из этого доказательства можно извлечь конструкцию, эта конструкция основывается на произвольном выборе дополнительного подпространтства к подалгебре Ли, а потом проверяется, что изоморфизм не зависит от этого выбора.
14. Производная категория мотивов меня изначально интересовала просто как место приложения гомологических техник, и прежде всего -- кошулевости. Результат про смешанные мотивы Тейта с конечными коэффициентами, при всей его важности, технически несложен (кажется). Основным моим (чисто психологическим) затруднением на пути его получения было недостаточное знакомство с понятием точной категории, и я провел немало времени, возясь с этими аксиомами, передоказав известный результат о том, что третья аксиома Квиллена следует из первых двух (на самом деле, там достаточно полутора аксиом из трех первоначальных).
Позже я вложил немало времени и сил в попытки получить обобщения -- на случай поля, не содержащего l-корня из единицы, на случай мотивов Артина-Тейта. В последней задаче виделась надежда на получение гипотез, связывающих когомологии Галуа поля и его расширений. Ни то, ни другое обобщение не получились; при этом если относительно первой задачи я уверился в отсутствии у нее решения в интересовавшем меня виде (на самом деле, она аналогична задаче о рациональных коэффициентах и поле характеристики 0), то вторая осталась не решенной ни в ту, ни в другую сторону. От занятий первой задачей Воеводский всегда меня отговаривал. Размышлял я также и о явных конструкциях других вариантов категории смешанных мотивов Тейта -- с целыми коэффициентами над конечным полем, в равных конечных характеристиках.
15. О производной неоднородной кошулевой двойственности я первоначально думал как о задаче восстановления производной категории модулей над (конечномерной) алгеброй Ли по DG-модулям над ее стандартным комплексом. Я, конечно, понимал, что стандартный комплекс редуктивной алгебры Ли с коэффициентами в нетривиальном неприводимом модуле ацикличен; понимал я и то, что стандартный комплекс как DG-алгебра квазиизоморфен своим когомологиям, а последние зависят только от инвариантов действия группы Вейля в функциях на картановской подалгебре. При всем этом я совершенно по-детски мечтал совместить несовместимое и восстановить производную категорию модулей над полупростой алгеброй Ли по классу квазиизоморфизма стандартного комплекса, т.е., по инвариантам группы Вейля. Я считал, что это было бы большим достижением в теории представлений.
Штурмовать эту задачу в лоб было трудно из-за большого количества посторонних отвлекающих подробностей, начиная с фробениусовости внешней алгебры, мешающей различать инъективные и проективные DG-модули, и т.д. Тем не менее, я предпринял одну атаку, и к моменту исчерпания сил получил некий ответ: производная категория g-модулей эквивалентна гомотопической категории C*(g)-модулей, свободных как градуированные модули. Как стало известно позже, это правильный ответ; разумеется, мне не было от него в той ситуации ни малейшей пользы, да и способ его получения я не запомнил.
В конце концов, уже в бытность мою постдоком в Принстоне, мы с Воеводским стали обсуждать DG-алгебры, он предлагал мне написать про них подробный текст, чтобы использовать его как источник ссылок. Я пожаловался ему на эту задачу, и он (как раньше Бернштейн) заявил, что эта задача явно разрешима, и что более того, ее нужно решить. Ну, и я ее решил. Мне как раз очень удачно попались под руки статьи Неемана, про гомотопические пределы в триангулированных категориях и проч. Решающим ходом мысли было: какие DG-модули бар-конструкция переводит в ацикличные? А вот, например, тотальные DG-модули точных троек она переводит даже в стягиваемые!
Постфактум можно предположить, что эту решить эту задачу было бы легче, если сразу думать про общий случай, когда нужно определять экзотическую производную категорию CDG-(ко)модулей. Никакая обычная производная категория, не относящаяся к делу, не мешалась бы при таком взгляде, поскольку в такой общности ее не существует. Позже этим путем пошли Келлер-Ловен-Николас, да только далеко они не ушли. Вместо этого, я мучительно размышлял про внешнюю алгебру с одной образующей. Разумеется, существовал еще и слишком легкий путь определения правой части желаемой эквивалентности категорий в терминах левой части, которым ходили многие авторы, но меня он никогда не привлекал.
16. Задачу определения полубесконечных когомологий ассоциативных алгебр нам поставил Фейгин; первоначальной формулировкой было "придумать что-нибудь гомологическое, так чтобы оно одновременно было и когомологическое". С моей тогдашней точки зрения, хорошая теория когомологий должна была сопоставляться какому-нибудь по-спартански простому объекту, типа произвольной ассоциативной алгебры. Без всяких там наворотов, лишних структур, и лишних симметрий. Мы даже попытались построить такую теорию, и конечно у нас ничего не получилось.
Чуть позже Сережа Архипов придумал свои полубесконечные гомологии и когомологии градуированной ассоциативной алгебры, разложенной в тензорное произведение двух подалгебр, положительно и неположительно градуированной. Почему-то у меня не было сомнений, что определение это в принципе правильное, в том случае, к которому оно применимо, и одновременно не было сомнений, что в таком виде оно никуда не годится. Было ясно, что изгнать обе подалгебры не получится, но как минимум, надо было изгнать одну из них, а на самом деле хотелось доказать, что полубесконечные когомологии можно восстановить по любой одной из двух подалгебр.
Сережу, между тем, как я понимаю, две подалгебры не смущали, но ему хотелось избавиться от градуировки, поскольку в его любимом примере (диагональ в квадрате алгебры Хопфа) никакой градуировки с вышеуказанными свойствами нет (хотя пара дополнительных подалгебр есть). Позже Рома Безрукавников, пытаясь разобрать вычисление Сережи полубесконечных когомологий малой квантовой группы с ее треугольным разложением, придумал свое собственное, совершенно другое определение полубесконечных когомологий (но не гомологий) ассоциативных алгебр. Его статью на эту тему Зергель завернул из Journ. of Algebra, потребовав избавиться от предположения фробениусовости одной из подалгебр. Мы втроем стали все это обсуждать, и одним из выводов было, что нужно для дальнейшего прогресса нужно "демистифицировать" конструкцию алгебры A#, существенно задействованную в Сережиной теории. Последняя сопоставляла группы "полубесконечных Tor-ов" правому модулю над A и левому модулю над A#, а группы "полубесконечных Ext-ов" -- левому модулю над A# и левому модулю над A.
Я стал думать про A# и модули над ней, и вскоре понял, что ключевую роль играет некая "полуалгебра" -- объект-алгебра в категории бикомодулей над коалгеброй. Для меня это было почти знакомое понятие, поскольку я уже имел дело (хотя и безуспешно) с двойственными образованиями -- объектами-коалгебрами в категориях бимодулей -- при попытках разобраться с мотивами Артина-Тейта (см. 14). После этого уже было ясно, что надо делать -- рассматривать не точный ни слева, ни справа функтор полутензорного произведения. Это предположительно объясняло полубесконечные гомологии; но откуда полубесконечные когомологии? Я стал думать, какого рода модули реально определяются Сережиными условиями на градуировки, и в итоге вспомнил, что что-то подобное я уже видел -- в IAS-овской библиотеке, когда, на радостях после открытия 15., изучал всю окрестную литературу. Это было определение контрамодуля из оригинальной статьи Эйленберга-Мура 65-го года. Результатом всего этого стало написание "летних писем 2000-го года", где обсуждались вопросы начиная с конструкций A# и кончая тензорными операциями на комодулях, контрамодулях, и полумодулях.
Оставалось построить производные функторы полутензорного произведения и полугомоморфизмов, но тут я уже заранее знал, где прикуп. Феномен, называемый по-научному "сбалансированностью" -- совпадение производных функторов Ext и Tor, взятых по первому и по второму аргументу -- занимал меня с детства, а в связи с 15. я успел продумать определения функторов Tor и Cotor для DG-алгебр и (C)DG-коалгебр, использующие соответственно производную и копроизводную категорию. В случае полуалгебры, было ясно, что нужно рассматривать смешанную, "полупроизводную" категорию. Единственной трудностью, которую потребовалось преодолевать, была необходимость строить вложение произвольного S-полумодуля в С-инъективный и сюрьекцию на произвольный S-полуконтрамодуль из С-проективного. В ситуации "двух подалгебр" (а не только "одной подалгебры") эта проблема легко решается, но никаких двух подалгебр я знать и видеть не хотел. В итоге мне удалось как-то задействовать интуицию образующих и соотношений для получения довольно запутанной конструкции, сохранившейся для истории в "летних письмах 2002-го года" (в окончательном изложении эта конструкция сильно упростилась до полной неузнаваемости). Точнее говоря, эта конструкция сразу давала C-коплоские комодульные, а после неких дополнительных усилий -- также и C-коинъективные контрамодульные резольвенты.
17. По воспоминаниям о старых беседах с Сережей, а главным образом по взгляде на функтор тензорного умножения на N* над N, который использовался в этой науке повсюду и в частности нужен был, чтобы обобщать конструкцию Ромы, было ясно, что надо строить эквивалентность экзотических производных категорий комодулей и контрамодулей, а дальше уже полумодулей и полуконтрамодулей. Для контрамодулей, тут можно было использовать функтор контратензорного произведения; его аналог для полуконтрамодулей я придумал позже, а поначалу в этом месте был некий окольный путь. Ключевой трудностью была необходимость строить приспособленные объекты, с той разницей, что если для построения полубесконечных когомологий достаточно было накрыть произвольный S-полуконтрамодуль C-коинънъективным, то для полумодульно-полуконтрамодульного соответствия уже нужны были настоящие C-проективные резольвенты. Эквивалентность свойств C-коинъективности и C-проективности удалось доказать только через четыре года.
18. Таким образом, удалось избавиться как от второй подалгебры, так и от градуировки; мечта же избавиться, альтернативным образом, от первой подалгебры и оставить только вторую не осуществилась и была признана неосуществимой. Следующий шаг должен был состоять в том, чтобы доказать теорему сравнения полубесконечных гомологий полуассоциативных полуалгебр и бесконечномерных алгебр Ли. Пикантность ситуации состояла в том, что Сережа давно и даже не один раз опубликовал решение этой задачи, только я ничего не мог понять в этом решении. Я долго копался в этом, постепенно повышая общность; в некоторый момент у меня была доказана теорема сравнения для случая только... конечномерной алгебры Ли. Ключевым шагом было доказательство изоморфизма "левой" и "правой" полуалгебр, связаннных с парой Хариш-Чандры. Прямо обобщить доказательство этого утверждения с конечномерного случая на бесконечномерный так и не удалось.
Естественное отображение, которое я построил в конечномерном случае, надо было подвергнуть какой-то регуляризации, чтобы оно имело смысл в бесконечномерном. Из этой процедуры регуляризации должно было, как обычно, вылезти каноническое центральное расширение тейтовской алгебры Ли. Я стал обсуждать это с Сережей, и оказалось, что он всегда мечтал избавиться от регуляризации (видимо, примерно так же, как я всегда мечтал избавиться от второй подалгебры). Я не имел ничего против регуляризации, но осуществить ее мне не удавалось. В итоге я пошел по пути, который предлагал Сережа, и получил, вместо конструкции изоморфизма, доказательство существования и единственности изоморфизма с определенными свойствами. В той мере, в которой из этого доказательства можно извлечь конструкцию, эта конструкция основывается на произвольном выборе дополнительного подпространтства к подалгебре Ли, а потом проверяется, что изоморфизм не зависит от этого выбора.