Неоднородные абсолютно кошулевы полуалгебры
В то время как определение категории в правой стороне гипотетической неоднородной абсолютной квадратичной двойственности для полуалгебр остается неизвестным, определение левой стороны можно дать, кажется.
Неоднородная абсолютно кошулева справа полуалгебра S над коалгеброй C -- это полуалгебра над коалгеброй, снабженная двумя фильтрациями F и V. Фильтрация F на S возрастающая, согласованная с тривиальной фильтрацией на C, т.е. F-1S=F-1C=0 и F0C=C, и кроме того, F0S=C. Фильтрация V на S тоже формально возрастающая, но занумерована целыми числами и согласована с фильтрацией V на C, занумерованной неположительными целыми числами, т.е. V0C=C, и далее, С/V-1C=k. Фильтрации F и V на S связаны вложением FjS⊂VjS. Это, впрочем, следует из гораздо более сильного условия: присоединенная биградуированная полуалгебра grF,VS над присоединенной градуированной коалгеброй grVC должна быть правым сплетенным произведением отрицательно градуированной коалгебры grVC в градуировке i и какой-то положительно градуированной алгебры A в градуировке j. Здесь положительная градуировка j на grF,VS наследуется с индексов фильтрации F, а отрицательная градуировка i на grF,VS дается формулой i=n-j, где целочисленная градуировка n на grF,VS наследуется с индексов фильтрации V.
В дополнение к сказанному выше, коалгебра grVC и алгебра A должны быть кошулевыми, коалгебра С должна быть конильпотентной, и пересечение всех компонент фильтрации V на C и S должно быть равно нулю, ∩n VnC = 0 = ∩n VnS. Таким образом, в частности, коалгебра C должна быть квадратично-линейной кошулевой коалгеброй относительно убывающей фильтрации V, определенной по правилу VnC = V-nC.
Так же, как и в случае квадратично-линейной коалгебры C, условие ∩n VnS = 0 эквивалентно некоторому свойству локальной конечности (в отрицательном направлении) фильтрации V на S относительно подходящей конильпотентной фильтрации. Тут требуется осторожность, поскольку это получается уже третья фильтрация, которую мы рассматриваем на S, и может встать проблема дистрибутивности. Тем не менее, следующий аргумент представляется корректным. Из условий на фильтрации V и F следует, что отображение левого кодействия VnS/Vn-1S → VnC ⊗ S/V0S инъективно (это можно доказывать индукцией по номеру фильтрации F). Теперь определим конильпотентную фильтрацию на S, индуцированную левым кодействием C, с помощью правила, что NmS есть полный прообраз NmC⊗S при отображении левого кодействия S→C⊗S. Тогда V-m-1S ∩ NmS = 0 для всех m.
Неоднородная абсолютно кошулева справа полуалгебра S над коалгеброй C -- это полуалгебра над коалгеброй, снабженная двумя фильтрациями F и V. Фильтрация F на S возрастающая, согласованная с тривиальной фильтрацией на C, т.е. F-1S=F-1C=0 и F0C=C, и кроме того, F0S=C. Фильтрация V на S тоже формально возрастающая, но занумерована целыми числами и согласована с фильтрацией V на C, занумерованной неположительными целыми числами, т.е. V0C=C, и далее, С/V-1C=k. Фильтрации F и V на S связаны вложением FjS⊂VjS. Это, впрочем, следует из гораздо более сильного условия: присоединенная биградуированная полуалгебра grF,VS над присоединенной градуированной коалгеброй grVC должна быть правым сплетенным произведением отрицательно градуированной коалгебры grVC в градуировке i и какой-то положительно градуированной алгебры A в градуировке j. Здесь положительная градуировка j на grF,VS наследуется с индексов фильтрации F, а отрицательная градуировка i на grF,VS дается формулой i=n-j, где целочисленная градуировка n на grF,VS наследуется с индексов фильтрации V.
В дополнение к сказанному выше, коалгебра grVC и алгебра A должны быть кошулевыми, коалгебра С должна быть конильпотентной, и пересечение всех компонент фильтрации V на C и S должно быть равно нулю, ∩n VnC = 0 = ∩n VnS. Таким образом, в частности, коалгебра C должна быть квадратично-линейной кошулевой коалгеброй относительно убывающей фильтрации V, определенной по правилу VnC = V-nC.
Так же, как и в случае квадратично-линейной коалгебры C, условие ∩n VnS = 0 эквивалентно некоторому свойству локальной конечности (в отрицательном направлении) фильтрации V на S относительно подходящей конильпотентной фильтрации. Тут требуется осторожность, поскольку это получается уже третья фильтрация, которую мы рассматриваем на S, и может встать проблема дистрибутивности. Тем не менее, следующий аргумент представляется корректным. Из условий на фильтрации V и F следует, что отображение левого кодействия VnS/Vn-1S → VnC ⊗ S/V0S инъективно (это можно доказывать индукцией по номеру фильтрации F). Теперь определим конильпотентную фильтрацию на S, индуцированную левым кодействием C, с помощью правила, что NmS есть полный прообраз NmC⊗S при отображении левого кодействия S→C⊗S. Тогда V-m-1S ∩ NmS = 0 для всех m.