Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Точные DG-категории

Есть DG-категории, есть точные категории, а есть еще точные DG-категории. На самом деле, точные DG-категории нужны для того, чтобы сопоставлять им производные категории второго рода, и доказывать обычные свойства этих производных категорий в максимальной общности.


Пусть D -- DG-категория, пусть D# -- категория, морфизмы в которой есть морфизмы степени 0 в D (не обязательно замкнутые), и пусть D### -- идемпотентное (карубиево) замыкание D#. Если D -- категория каких-нибудь (C)DG-модулей над (C)DG-кольцом B, то D### -- категория градуированных модулей (без дифференциалов) над B. Нас будет интересовать связь структур точной категории на D### и на категории Z^0D замкнутых морфизмов степени 0 в D.

DG-категория D называется точной, если на D### задана структура точной категории со следующими свойствами. Пусть X->Y -- морфизм в Z^0D, являющийся допустимым мономорфизмом в D###. Тогда должен существовать морфизм Y->Z в Z^0D, такой что X->Y->Z -- точная тройка в D### (т.е. морфизм Y->Z является ядром морфизма X->Y в D###). Аналогично для допустимых эпиморфизмов. Если эти условия выполнены, на Z^0D имеется структура точной категории, в которой тройка точна тогда и только тогда, когда она точна в D###.

Дальше можно предположить наличие в D конусов и сдвигов, влекущее структуру триангулированной категории на гомотопической категории H^0D, и рассмотреть класс всех объектов D, являющихся тотальными объектами (свертками) точных троек в Z^0D. Предполагая существование произвольных прямых сумм в D и замкнутость относительно прямых сумм класса точных троек в D###, можно определить обычным образом коацикличные объекты в H^0D (как замыкание сверток точных троек, определенных выше, относительно конусов и бесконечных прямых сумм) и копроизводную категорию D (как локализацию H^0D по толстой подкатегории коацикличных объектов).

Небольшое продолжение следует.
Tags: math
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments