Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Category:

Полупроизводная категория для неаффинного квазикомпактного плоского морфизма

В развитие постинга https://posic.livejournal.com/2336338.html

Полупроизводная категория -- это смесь производной категории по части переменных (условно, "образующих алгебру") и копроизводной категории по остальным ("образующим коалгебру"). Полупроизводная категория -- это центральное техническое, гомологическое понятие во всяких полубесконечных делах. В этом главное открытие моей книжки по полубесконечной гомологической алгебре.

В контексте алгебраической геометрии, "переменные коалгебры" означают пространство, сложно склеенное из маленьких аффинных схем -- скажем, инд-нетерову инд-схему или инд-нетеров инд-стэк. "Переменные алгебры" означают пространство, просто склеенное из больших аффинных схем -- скажем, бесконечномерную квазикомпактную полуотделимую схему.

Обычно конструкция полупроизводной категории подразумевает относительную ситуацию -- морфизм колец или пространств, "забывающий переменные алгебры". В этом случае понятно, как полупроизводная категория определяется. Бывают и более сложные конструкции, как например в мемуаре про слабо искривленные A-бесконечность алгебры.

Оставляя пока в стороне D-модули, стоит обсудить определение полупроизводной категории в контексте полубесконечной алгебраической геометрии квазикогерентных пучков кручения, как в моем пишущемся сейчас (апрельском 2021 года) препринте. Самое ограничительное из условий, при которых там развивается теория -- это аффинность морфизма инд-схем π: Y → X. Хотелось бы заменить аффинность на квазикомпактность и полуотделимость (понимаемую в том смысле, что прообраз любой аффинной локально замкнутой подсхемы в Х -- квазикомпактная полуотделимая локально замкнутая подсхема в Y).

Аффинность эта нужна для того, чтобы определять полупроизводную категорию в терминах функтора прямого образа квазикогерентных пучков кручения при морфизме инд-схем Y → X. Чтобы прямой образ был точным и строгим функтором, морфизм должен быть аффинным. На этой почве я еще в каком-то 2013 году размышлял о важности аффинных морфизмов в полубесконечной алгебраической геометрии.

Теперь же мне кажется, что аффинность можно ослабить до квазикомпактности и полуотделимости, хотя и ценой существенного усложнения определения. Пусть π: Y → X -- квазикомпактный, полуотделимый, плоский морфизм инд-схем (при этом X предполагается инд-нетеровой инд-схемой). Что значит, что комплекс квазикогерентных пучков кручения N на Y полуацикличен относительно X?
Tags: math13
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments