November 1st, 2021

Счетное всюду плотное подмножество

Препринт уже обнародовался, а я все забываю написать. Короче, дело было так.

Миша Вербицкий знаменит своей энергией и энтузиазмом в деле преподавания математики, а также своей неспособностью отличать верные утверждения от неверных. Поначалу я надеялся, что если указать ему на его ошибку, он хотя бы исправит ее и перестанет ее повторять, но это тоже не подтвердилось.

Одной из таких ошибок в его листочках для студентов, которую я (в мои московско-вышкинские времена), напрягши мозговую мышцу в процессе приема задачи у студента, разоблачил, и пару раз Мише на нее указывал, но это не привело к ее (ошибки) изгнанию из его (Миши) листочков, была следующая. Студентам предлагалось доказать, что всякое хаусдорфово топологическое пространство со счетным всюду плотным подмножеством имеет мощность не больше континуума.

Миша вряд ли запомнит, но вы запомните, дети: это неверно. Чтоб вам легче было запомнить, отметьте для себя: я прямо целую статью написал про то, что это неверно. То есть, в смысле, не статью, конечно, но длинный раздел в статье. Ну, ладно, не раздел, но хотя бы пару фраз в паре параграфов в одном замечании к одному разделу в одной статье.

Если в хаусдорфовом топологическом пространстве T есть всюду плотное подмножество X, то теоретико-множественная мощность T не превосходит два в степени два в степени мощность X. Запомните, дети: там двойная экспонента. То есть, если X счетно, то мощность T может быть гиперконтинуум.

Еще лучше, конечно, не "запомните", а подумайте и сообразите, почему.

Другое дело, если T -- метрическое пространство. Тогда, конечно, Миша прав, и экспонента одинарная (если X счетно, то мощность T не больше континуума).

См. Remark 11 ближе к концу Section 12, на странице 49 в https://arxiv.org/abs/2110.13105 .