September 3rd, 2021

Статья в Glasgow Math. Journal-2020

https://arxiv.org/abs/1808.00937
https://doi.org/10.1017/S001708951900017X

Тексты как дети, ну или вообще как люди -- у каждого своя судьба. И все же у этой работы совсем особенная планида. Может быть, дело в том, что с ней получилось противоположно тому, как я поступал в юности -- откладывал публикацию больших и почти целиком уже сделанных работ на 10-15 лет, тем временем понемногу продумывая детали и заполняя пробелы. Статья в GMJ созрела к публикации быстро -- я начал думать про эту задачу в апреле 2018, в начале августа обнародовался архивный препринт, а уже в мае 19 года окончательная версия появилась на сайте журнала.

Текст был в основном придуман и написан жарким израильским летом 2018, и это было довольно напряженное время в моей жизни -- лето переезда на постоянную работу из Хайфы в Прагу. Но я думаю, что дело не в погоде, а в задаче -- непростая тема, понимание которой у меня было (и остается) вроде бы и немалым, но недостаточным; и трудная задача, над которой я неделями мучительно размышлял на пределе своих ограниченных когнитивных способностей.

Может быть, текст получился бы лучше, если бы он был написан не в 18 году, а в 23 или 28. Но такой опции не было: юность давно кончилась, и я больше не верю в свое бессмертие -- дожитие до 23 года сомнительно, о 28 годе не хочется и помышлять. Да и сама задача и тема не настолько уж мне интересна, чтобы десять лет ее продумывать. В общем, тут либо я все-таки полюбил бы эту работу -- и меня бы замучила совесть, что вот я завтра помру и унесу ее с собой в могилу; либо я бы просто отвлекся, постепенно позабыл про нее и она бы пропала.

Еще до обнародования на Архиве текст несколько раз переписывался где-то в июне-июле, понимание постепенно прибавлялось, оставаясь недостаточным. В основном это был процесс улучшения, усиления результатов и упрощения доказательств. Потом я переключился на другие дела, приехал в Прагу. Журнал GMJ не стал тянуть резину и относительно быстро принял статью к печати.

Ошибок, ставящих под сомнение основные результаты, в опубликованном в GMJ тексте до сих пор не обнаружилось. Но по краешку оно немножко сыплется. Первые две небольшие ошибки в публикуемой работе я обнаружил при вычитке корректуры для GMJ. Небольшие-то они небольшие, но все же в рамках поправок к корректуре исправить их было невозможно, на мой взгляд. После обнародования статьи на сайте журнала я вывесил первую версию корригендума (отдельного текста с признанием ошибок и предложениями по их исправлению) в Архив. В первой версии корригендума были два раздела -- по числу ошибок. Приводились контрпримеры к неверным утверждениям, объяснялось, как сформулировать, чтобы было правильно.

Необходимость добавить к корригендуму третий раздел была осознана во время моего визита в Падую в ноябре-декабре 2019 года. Это была, строго говоря, "не ошибка" или, так сказать, ошибка второго рода -- запутывающе сложное обсуждение простого вопроса. С.Б. в Падуе мне объяснила, как там надо рассуждать, чтобы все получилось гораздо лучше. Весной 2020, примерно одновременно с окончательным выходом статьи в GMJ из печати, вторая версия корригендума, уже с тремя разделами, появилась на Архиве.

Теперь я вижу, что, судя по всему, корригендум придется расширять снова. Строго говоря, это тоже не ошибка, а дыра, причем никакой роли в общем контексте работы не играющая. В разделе "предварительные сведения" имеется фраза, в которой сделано утверждение, три года назад казавшееся мне несложным. В основном тексте работы оно (по-моему) не используется, а в "предварительные сведения" было включено для полноты картины.

Теперь я просто не знаю, верно это утверждение вообще или нет. Там естественный вопрос о двух импликациях в противоположных направлениях, в работе сформулирована одна из них, а доказать мне теперь не удается ни в ту сторону, ни в противоположную. При довольно ограничительных дополнительных предположениях, характерных для основных результатов статьи в GMJ, но на вид совершенного излишних для такого простого на первый взгляд вопроса, мне теперь кажется, что я могу все же доказать сформулированную три года назад импликацию. Следует написать об этом, я думаю, четвертый раздел корригендума, чтобы не путать читателей.

В общем, сейчас дело видится так, что после нескольких недель напряженных размышлений основная картина грубыми мазками сложилась у меня правильно к августу 2018. Но внимательно проверять детали по ходу написания текста сил уже не нашлось, и вот получилась статья, к которой прилагается поток регулярно обнародуемых небольших поправок.

Можно сказать, что эта работа стала таким дальним передовым рубежом моего знания в ее направлении. Продвинуться дальше в эту сторону я с тех пор уже и не пытаюсь, ограничиваясь стремлением удержать свои позиции в ходе развивающейся war of attrition. Но оборонительная операция пока что проходит успешно. Тем временем, мои новые тексты полнятся ссылками на ключевые результаты этой работы.

К предыдущему: математическое доказательство

Почему такое беспокойство о мелких деталях рассуждений, о корректности доказательств третьестепенных утверждений? Внимание к логической строгости доказательств определяет математику вообще в целом, как предмет. И все же, говоря об именно моих текстах, познавательно может быть задуматься о том, как вообще это устроено и как работает.

Понятно, что есть существенный репутационный элемент (разница между авторами, делающими "работу над ошибками" в своих работах, публикующими признания ошибок, и авторами, которым до их собственных ошибок нет заботы, и т.д.) Но все же, помимо всего этого...

Я пишу про контрамодули. Я написал длинный ряд работ про контрамодули, про их теорию и приложения к разным задачам алгебры. Что такое контрамодули? Каков их онтологический статус?

Не будет большим преувеличением сказать, что единственным (релевантным в контексте) местом обитания контрамодулей являются мои собственные работы. За пределами моих работ контрамодулей не бывает. Контрамодулей в том смысле, в котором о них идет речь в моих текстах.

В материальной природе контрамодулей нет. В науках о природе контрамодулей нет. Растущее, строящееся здание раздела математической науки держится целиком на мыслях одного человека (им же в основном и изложенных на бумаге). Как это вообще возможно, почему оно до сих пор не рухнуло? Какая может быть надежда, что оно не исчезнет и не растворится в пустоте в момент моей смерти?

Можно говорить о том, что помимо чистой логики есть опыт, есть интуиция. Но в нулевой момент времени, когда я начинал размышлять о контрамодулях, у меня не могло быть про них никакой интуиции. Вся интуиция наработана мною же самим. Интуиция нарабатывается с опытом. Весь опыт -- мой же собственный внутренний, когнитивный опыт. Опыт моих размышлений.

Да, я общаюсь с другими людьми, мы пишем совместные работы про контрамодули. Это очень важно для меня, это помогает мне не помереть от тоски, не сойти с ума, предоставляет мне какую-то внешнюю опору, входящий поток новых идей, умений и т.д.

Но важным аргументом в пользу валидности теории контрамодулей могло бы стать появление оригинальных исследовательских работ в этой области, использующих, продолжающих и развивающих мои результаты, но написанных без моего участия. Появление потока таких работ означало бы, что теория приобрела полноценное независимое существование за пределами моего внутреннего мира и его отражения на бумаге. Пока что этот рубеж еще не достигнут.

На чем же держится вся конструкция? Конечно, можно предположить, что она ни на чем не держится, что это мираж у меня такой долгоиграющий, в который мне несколько своих ближайших коллег удалось частично вовлечь. Однако, есть ли вообще надежда, что это не мираж, что все это может быть не миражом? Мои коллеги, пишущие со мной совместные работы на эту тему -- они на что вообще надеются? Их доверие к моему миражу на чем основано?

Ответ: все стоит на силе математических доказательств, больше ни на чем. Плюс еще контрпримеров (тоже доказательств, но отрицательных результатов). Математики верят в силу математических доказательств и умеют этой силой пользоваться -- в этом примерно состоит определение математика. А первый минимальный необходимый элемент этой веры и умения тот, что не все, что называется "доказательством", обязательно является таковым -- и математик отличает одно от другого.

И особенно сильная опора на надежность математических доказательств подразумевается в способе заниматься математикой, подобном моему -- высоко индивидуализированном. Когда осуществляется в огромной степени индивидуальный, а не коллективный исследовательский проект.

Это чудо, да. Но нужна, как минимум миниморум, добросовестность (не говоря о таланте), чтобы это чудо работало.

(no subject)

Подскажите, а руководителей отдела вакцин американского FDA, демонстративно ушедших в отставку, уже обвинили в том, что они антиваксы? или что играют на руку антиваксам?
Или этой новости вообще не существует?
(just venting out)