June 12th, 2021

Уперся в препятствие, однако

Вот, задача по квазикогерентным пучкам.

Как все знают, ограничение на открытые подсхемы сохраняет инъективность квазикогерентных пучков на нетеровых (ну, или локально нетеровых) схемах, а на произвольных схемах не сохраняет. Все знают также, что прямой образ при плоском морфизме сохраняет инъективность квазикогерентных пучков.

Пусть теперь имеется плоский морфизм схем Y → X, где X -- нетерова схема (а Y нет). Можно накладывать естественные предположения -- скажем Y квазикомпактна, обе схемы полуотделимы. Пусть V ⊂ Y -- открытая подсхема. Можно предполагать, что композиция V → Y → X -- аффинный морфизм, или даже что вся схема V аффинна.

Возьмем инъективный квазикогерентный пучок на Y, ограничим его на V, и рассмотрим прямой образ этого ограничения при композиции морфизмов V → Y → X. Как доказать, что получившийся квазикогерентный пучок на X инъективен?

Мне кажется, я умею делать случай, когда обе схемы X и Y аффинны (пользуясь известной леммой, что функции на аффинной открытой подсхеме аффинной схемы -- очень плоский модуль над функциями на объемлющей аффинной схеме). Может быть, я даже представляю себе, как вывести из этого случая более общий случай, когда f -- аффинный морфизм.

Но интересен мне как раз случай, когда f не аффинный морфизм. Как с ним разбираться, я не понимаю, даже если предположить, что схема X аффинна.