June 8th, 2021

Придумал, как объяснить, что такое полубесконечная геометрия

Сначала надо определить, что такое "множество с полубесконечной структурой". Это такое (бесконечное) множество, про которое сказано, какие подмножества в нем называются полубесконечными. Полубесконечное подмножество бесконечно и дополнение к нему бесконечно, но любые два полубесконечных подмножества отличаются одно от другого только конечным множеством.

Дополнения к полубесконечным подмножествам надо тоже как-то называть. "Кополубесконечными", скажем.

Теперь полубесконечное пространство -- это такое, в котором (локальные или глобальные) координаты занумерованы множеством с полубесконечной структурой. Можно потребовать, чтобы для любой точки пространства множество номеров координат, которые в этой точке не зануляются, было полубесконечным подмножеством (точнее, конечно, содержалось в полубесконечном подмножестве -- все координаты могут быть равны нулю одновременно, но вот все не равны нулю одновременно они не могут быть). Дальше можно определить полубесконечные подмногообразия и т.д.

Главный технический, гомологический принцип моего подхода к полубесконечной алгебре и геометрии гласит, что надо рассматривать полупроизводную категорию. Это значит, брать производную категорию вдоль полубесконечного подмножества координат и копроизводную категорию вдоль его дополнения -- кополубесконечного подмножества координат.

Проникнуться этим принципом трудно, поскольку на первый взгляд кажется, что разница между производной и копроизводной категорией не так уж и велика, и вообще непонятно, почему это так важно. Но важно это потому, что на производной категории хорошо себя ведет тензорное произведение, а на копроизводной -- котензорное. Другими словами, между производными категориями действует левый производный функтор *-ограничения, а между копроизводными категориями -- правый производный функтор !-ограничения. Тут разница уже более ощутима. А чтобы заметить, почему это так, надо систематически рассматривать неограниченные в обе стороны комплексы. Ну, и так далее.

А как отличить, по каким координатам производная категория, а по каким копроизводная? Можно так: если у вас расслоение, то вдоль базы надо брать копроизводную категорию, а вдоль слоя производную. А можно и так: если у вас бесконечный набор координат, которым всем разрешено не зануляться одновременно, то от этого надо брать производную категорию; а если наложено условие, что только конечное подмножество координат может принимать ненулевые значения одновременно в какой-либо точке, то по таким координатам надо брать копроизводную категорию.