April 19th, 2021

Две различалки (гомологическая алгебра)

В общем, короче, есть две оппозиции. Или, точнее, две тернарные альтернативы. С одной стороны:

(1) категории абелевы vs. точные vs. триангулированные.

С другой стороны:

(2) триангулированные категории vs. дериваторы vs. (бесконечность,1)-категории.

В пункте (2) к "дериваторам" и "(бесконечность,1)-категориям" полагаются какие-то эпитеты. "Стабильный сильный дериватор" или "стабильная (бесконечность,1)-категория" или как там они говорят. Я не очень в этом разбираюсь (неважно).

Можно еще "DG-оснащения" дополнительным вариантом в (2) добавить.

Мне интересен пункт (1). Есть длинный ряд разных конструкций "экзотической производной категории", позволяющих построить по абелевой или точной категории триангулированную. Есть конструкции эквивалентностей триангулированных категорий, происходящих из разных абелевых/точных категорий.

Скажем, есть две абелевые категории A и B. Построить эквивалентность между производными категориями A и B -- это одна задача, а построить эквивалентность между копроизводной категорией A и контрапроизводной категорией B -- совсем другая. Бывает, что обе эквивалентности существуют, но это совсем разные конструкции, зависящие от разных дополнительных данных и предположений.

Про пункт (2) я не пишу. По-моему, можно взять примерно любую мою работу, заменить всюду слова "триангулированная категория" на любую из альтернатив по пункту (2), и ничего не изменится. Разницы нет.

Не потому, что я считаю, что пункт (2) неважен. Конечно, он имеет немалое техническое значение. Но этим модным кругом вопросов занимаются немало сильных людей, которые прекрасно разберутся в нем без меня.