April 1st, 2021

Вот, например, алгебраическая геометрия

Что такое алгебраическая геометрия? Ну, это схемы, стэки, инд-схемы, инд-стэки. Все это склеивается разными способами из аффинных схем.

Коммутативному кольцу сопоставляется производная категория модулей. Или ему сопоставляется гомотопическая категория комплексов инъективных модулей. Или комплексов проективных модулей. (Для нетерова кольца с дуализирующим комплексом, разница между последними двумя опциями невелика.) В общем, возникают варианты.

Если схема не аффинная, все это надо как-то клеить. Клеют все это с помощью функторов обратного образа. Их бывает примерно два: звездочка и факториальчик (на самом деле больше). В общем, снова возникают варианты.

Когда решено, что и как клеить, в дело включается машинерия (бесконечность,1)-категорий, квазикатегорий или как там их. Надо взять гомотопический предел диаграммы квазикатегорий. Форма диаграммы отвечает за способ склейки (стэк, там, или инд-схема).

... В рамках этой (новой) картины мира, задачу о контрагерентных копучках нельзя даже поставить. Нет никакого способа придти к понятию очень плоского модуля, очень плоской гипотезе и т.д.

Эти понятия живут в старой картине мира, подчеркивающей абелевы (или хотя бы точные) категории, точные (или хотя бы близкие к точным) функторы и т.д. Нет ли абелевой или точной категории модульных объектов на неаффинной схеме, в которой бесконечные произведения точны (а суммы не точны)? Что мешает ее существованию? Про триангулированные или (бесконечность,1)-категории таких вопросов не задашь, там нет никакой "неточности бесконечных произведений".

В общем, как обычно: новая технология могущественна и привлекательна, а чего нельзя сказать на новом языке, того как бы и не существует. Фронт модной науки ушел вперед, а я остался такой антифутурист и консерватор. Консерватизм мой состоит в приверженности моим же собственным детским и юношеским математическим впечатлениям. Я заполняю технические лакуны устаревшей картины мира.

Чем меньше читателей у моих текстов, тем больше мне хочется писать новые тексты в надежде, что хоть у них найдутся читатели. Читатели жалуются, что текстов слишком много. Читателей мало, а сильных среди них совсем мало, практически нет. Редкие исключения.

... Может быть, мой способ заниматься математикой принес бы больше пользы в мире, более соответствующем моим представлениям о должном. В котором было бы меньше слабых математиков и больше сильных, меньше конформизма и больше самоотверженности, меньше любви к карьере и больше к науке ради науки и т.д. Но единственный способ воплотить любой идеал в социальную реальность состоит в том, чтобы самому жить по его правилам.

Или, скажем, теория категорий

Чему нас учит теория категорий? Тому, что самые важные категории -- это абелевы категории, а среди абелевых самые важные -- это категории Гротендика.

На самом деле, теория категорий ничему такому теперь уже не учит; об этом был написан предыдущий постинг. Теперь самые важные категории -- это вообще не категории, а (бесконечность,1)-категории. Точка зрения, изложенная в первом абзаце, устарела.

При этом эта устаревшая точка зрения остается в своем контексте неоспариваемой догмой. Никто не сомневается в том, что если уж писать про аддитивные или абелевы категории -- то про категории Гротендика!

Тем временем, одним из моих планов-обещаний остается написать книгу, цель которой -- опровергнуть устаревшую догму. Не подвергаемую сомнению по существу, но стремительно утрачивающую релевантность.

По существу, догма упускает половину картины. Конечно, категории Гротендика важны. Но у них есть "ковариантно двойственные" аналоги, которых вы не замечаете.

Поэтому вы учите студентов, что инъективные объекты в "естественно возникающих" категориях встречаются чаще, чем проективные. На самом деле этот тезис из учебных курсов верен только в том смысле, что категории квазикогерентных пучков абелевы, а контрагерентных копучков -- точные.

Категории Гротендика -- это такие категории комодулей, в широком смысле слова. А есть еще категории контрамодулей. Они называются "абелевы локально представимые категории с достаточным количеством проективных объектов". Или "категории модулей с аддитивными операциями ограниченной бесконечной арности".

Я написал про эти абелевы категории ряд статей. Про то, как они, их примеры и свойства, возникают в разных контекстах. Допустим, появится еще и давно задуманная книга (на основе одного из препринтов 2017 года -- последнего, остающегося неопубликованным). От этого что-нибудь изменится? Не дает ответа.

Непонятен даже смысл вопроса. Что вообще на самом деле должно измениться? В результате чего бы то ни было?