November 14th, 2019

Не мираж

Да. В общем, так я и работаю в последние годы. Держу в голове большую картину (контрамодулей в теории представлений, алгебраической геометрии, коммутативной алгебре, некоммутативной алгебре; ко- и контрапроизводных категорий в теории представлений и алгебраической геометрии...) и медленно, по кусочкам достраиваю ее. Вот, и еще один элемент, похоже, достроился. Наверно, это все-таки не мираж. Похоже на правду.

Вот зачем я, к примеру, потратил столько времени-сил на изучение условий конечности в категориях комодулей и контрамодулей? Три статьи уже написал с обсуждением этого сюжета? А например, затем, чтобы мысль о том, что всякий конечно-порожденный подмодуль контрамодуля является подконтрамодулем, приходила в голову в нужный момент времени.

Тридцать лет спустя

Наш проект по приложениям контрамодулей к гипотезе Енокса восходит к январю-февралю 2018 года. Три или четыре архивных препринта были обнародованы с лета 2018 по осень 2019 года в рамках этого проекта.

Проект по приложениям контрамодулей к гипотезе Енокса вырос из проекта по контрамодулям в теории наклонов, который восходит к январю 2016 года. Тот проект, в свою очередь, вырос из статьи про теории кокручения в локально представимых абелевых категориях, написанной осенью 2015 года. Та статья решала задачу, над которой я начал размышлять в 2012-13 годах, она нужна была мне для построения контрагерентных копучков контрамодулей.

Понятие контрагерентного копучка я придумал в апреле 2012 после трех лет размышлений; постановка задачи восходит к весне 2009 года. Задача эта возникла из поиска максимальной естественной общности для конструкции контрапроизводной категории, которую я придумал в марте-апреле 1999 года (термина тогда не было, слово такое появилось только во второй половине 00-х годов). Конструкции копроизводных и контрапроизводных категорий решали задачу, над которой я размышлял с 1992 года. Задачу эту мне подсказали как естественно возникающую в контексте моей конструкции неоднородной кошулевой двойственности, которая была придумана где-то весной 1990 года, мне кажется.

Весной 1990 года мне было 17 лет. Осенью 2019 года мне 46 с половиной лет. Первые сколько-нибудь впечатляющие результаты по приложениям контрамодулей к гипотезе Енокса появились вот только что, в ноябре 2019 года.

Предыдущий постинг

не означает, что я считаю гипотезу Енокса такой уж очень важной задачей. В частности, я не думаю, что она верна в полной общности (и не только я так не думаю). Но это хорошая стимулирующая задача для развития разных техник теории колец. На нынешнем этапе, похоже, даже очень хорошая.

Настоящие приложения контрамодулей -- такие, важность которых будет соответствовать важности понятия -- появятся, вероятно, уже не при моей жизни.

Если вообще имеет смысл говорить о таких настоящих приложениях, кстати. Ведь контрамодули -- это очень базовое понятие, примерно как модули, но ступенькой выше в лестнице абстраций.

Что такое "настоящие приложения модулей"? Важность которых соответствует важности понятия? Вся современная математика, или ее алгебраическая часть как минимум, написана на языке модулей. Без них ее просто невозможно себе представить.

Но приложения важны, чтобы посрамить скептиков. Чтобы контрамодули не были опять забыты. Чтобы описанный в предыдущем постинге способ заниматься математикой люди стали, наконец, воспринимать как легитимный. Не говоря уже, по большому счету -- самый правильный.

Чтобы продемонстрировать, в конце концов, базовый факт: настоящее развитие, и в том числе, математического научного знания, является продуктом долгосрочных частных инвестиций, помноженных на понимание, какие вещи и проекты стоят того, чтобы в них инвестировать. И на основанную на таком понимании готовность нести в частном порядке соответствующие риски.