December 21st, 2018

Итоги года - 1

Еще одиннадцать дней до Нового года, что-то может еще произойти -- но что-то уже завершилось, и об этом можно написать. В этом году была принята к печати и вышла из печати моя статья про редукции точных категорий и последовательности Бокштейна. Сегодня я держал в руках бумажный том журнала Applied Categorical Structures, содержащий эту статью.

Постановка задачи, которую пытается решить, но так и не решает эта работа -- заканчивающаяся не теоремами, а гипотезами -- восходит к моим аспирантским годам, примерно 1995-97; а вообще всей тематикой, к которой эта работа относится, я начал заниматься осенью 1994, приехав на три месяца визитором в Гарвард и пообщавшись там с Володей Воеводским и Сашей Вишиком. Написав нашу с Сашей статью про гипотетическое -- до сих пор гипотетическое! -- приложение понятия кошулевой алгебры к когомологиям Галуа -- где-то уже ближе к декабрю 94 я начал размышлять о категории смешанных мотивов Тейта с конечными коэффициентами. Гипотезы, которыми заканчивается эта статья 2018 года, несопоставимо менее амбициозны, чем та гипотеза 94 года.

Более конкретно то, о чем идет речь в этой новой статье, я обдумывал в Москве где-то с февраля-апреля 2012 года, основной технический аппарат появился там же в Москве в сентябре 2013, статью я начал писать в марте-апреле 2014 в Праге, продолжил в июне-июле в Беэр-Шеве, и в основном закончил в декабре 2014-январе 2015 в Хайфе. В феврале 2016 я решил признать ее в основном законченной и послал в журнал, где она 25 месяцев проходила рецензирование. В конце марта этого года пришла рецензия, следуя которой, я дорабатывал статью в апреле в Праге и в мае в Хайфе. В конце мая я отослал исправленную и дополненную, заметно увеличившуюся в длине версию в редакцию, в конце июня пришел ответ, что работа принята к печати, в первой половине июля прошел процесс корректуры и окончательная версия статьи появилась на сайте издательства. В середине ноября у статьи появились окончательные выходные данные, и вот -- декабрь, бумажный выпуск.

Двадцать четыре года прошло и, видимо, с выходом этой работы из печати моя деятельность в этой области завершается. Четверть века назад, моей мотивацией было доказать важность кошулевых алгебр, продемонстрировав их поразительные приложения в теории мотивов. Четверть века спустя, в важности кошулевых алгебр никто давно не сомневается, а то, что мне удалось сделать в теории мотивов, никого не впечатляет. Думать о том, насколько хороши на самом деле мои работы в этой области, мне неинтересно теперь -- сколько-нибудь окончательный ответ на этот вопрос не станет известен при моей жизни, а предварительный мог иметь практическое значение, пока мне хотелось заниматься этой тематикой, но мне уже не.

В обозримой перспективе, ведущую роль в деле популяризации моих работ по этой тематике будет играть -- собственно, уже играет -- предыдущая моя статья на эти темы, написанная в 2015-16 годах и вышедшая из печати в Journal of Algebra в 2017 году. В том же выпуске J. Algebra была тогда опубликована другая моя работа, написанная поздней осенью 2015 года в соавторстве с чешским математиком Йиржи Розицким и открывающая (открывшая) новую эпоху в моей жизни -- в том же смысле, в котором эпоха, начавшаяся публикацией нашей с Сашей Вишиком статьи в 1995 году, теперь закончилась.

Грассман ушел из математики в лингвистику. Мне повезло гораздо больше -- я всего лишь переместился из теории полей в теорию колец.

Итоги года - 2

За прошедшую часть 2018 года четыре мои статьи окончательно вышли из печати, и пять статей были приняты к печати. Мне больше нравятся последние, чем первые.

Про одну из пяти принятых к печати статей (она и вышла из печати в этом году тоже) подробно рассказано в предыдущем постинге этой серии. Остальные четыре написаны в соавторстве с чешскими математиками. Три из этих работ, по-моему, очень хороши. Две из этих трех уже опубликованы на сайтах издательств и, предположительно, ожидают выхода из печати в наступающем году; одна ожидает корректуры.

Все три работы продвигают разные аспекты одной деятельности, которая уходит корнями в мои размышления о неоднородной квадратичной двойственности 1990-91 годов. С 92 года там была некая трудная задача, которую мне удалось решить весной 1999. Решением оказалась не столько теорема, сколько определение -- того, что теперь называется копроизводными и контрапроизводными категориями. После этого я пошел в библиотеку и нашел там, помимо разных других вещей, определение контрамодуля над коалгеброй.

Первый мой препринт, в котором упоминались (на самом деле, играли одну из главных ролей) контрамодули над коалгебрами, кокольцами и полуалгебрами, был обнародован в августе 2007 года. Определение контрамодуля над топологическим кольцом вперые появилось в длинном замечании, добавленном в июньскую, 2008 года, версию этого препринта (вышедшего в итоге из печати в виде толстой монографии в 2010 году).

Определение контрамодуля над коммутативным кольцом с фиксированным идеалом появилось в моих препринтах в 2012-13 годах (в журнальной публикации -- в 2016 году). Обобщение до аддитивных монад на категории множеств было сформулировано в совместном с Й.Р. декабрьском препринте 2015 года (вышедшем из печати в 2017). Контрамодули над коммутативным кольцом с мультипликативным подмножеством обсуждались в одном из препринтов весны 2016 года (окончательно вышедшем из печати в 2018 году).

Можно сказать, что две важнейшие, на текущий момент, мои работы на эти темы (два препринта 2017 года, оба в соавторстве с чешскими математиками) по-прежнему рассматриваются в редакциях. На один из них недавно пришла условно-одобрительная рецензия.

Но три следующие за ними по значению работы -- это как раз те, что были приняты к печати в уходящем году. В одной из них главным героем являются контрамодули над коммутативным кольцом с несколькими мультипликативными подмножествами, в другой -- аддитивные монады на категории множеств, в третьей -- псевдопроизводные категории (обобщения ко- и контрапроизводных категорий).

Этой моей старинной тематике повезло больше, чем той, о которой шла речь в предыдущем постинге -- она не исчерпалась, а трансформировалась. Я продолжаю в эмиграции заниматься вещами, прямо вырастающими из тех, о которых размышлял еще в студенческие годы в Москве, постдоком в Принстоне и Бонне, и потом снова в Москве в 2006-14 годах.

Разница в том, что в Москве я надеялся найти геометрические и арифметические приложения контрамодулей и контрапроизводных категорий, а в израильские годы переместился в направлении взаимосвязей с и приложений к чистой алгебре (теории колец и модулей) и теории абелевых категорий.

Главный итог года состоит в том, что контрамодули завоевывают признание алгебраистов, или по крайней мере, пражских, падуйских и близких к ним алгебраистов. В идеале, следующим этапом будет, когда не слишком широко известная сегодня пражско-падуйская алгебра, вооружившись контрамодулями, завоюет признание математиков всего мира.