October 30th, 2018

Контрпример к сильной замкнутости замкнутых подгрупп/идеалов?

Есть такая книжка V.I. Arnautov, S.T. Glavatsky, A.V. Mikhalev, "Introduction to the theory of topological rings and modules", Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics 197, Marcel Dekker, New York, 1996.

Теорема 4.1.48 на странице 292 там утверждает, что всякая отделимая топологическая абелева группа X является факторгруппой (с фактортопологией) некоторой полной отделимой топологической абелевой группы Y по замкнутой подгруппе. Берется Y, равная прямой сумме счетного числа копий X, и приводится явная конструкция полной отделимой топологии на Y по произвольной отделимой топологии на X.

Теорема 4.1.49 утверждает, что аналогично можно получить любое отделимое кольцо как факторкольцо полного отделимого кольца по замкнутому идеалу, с помощью той же конструкции. Но это утверждение уже явно неверно, по-моему (отображение не является гомоморфизмом колец). Интересно, верно ли доказательство теоремы 4.1.48 (про группы).

P.S. Да, мне кажется, доказательство теоремы 4.1.48 верно. Прекрасный контрпример!

Continuous spectral Grothendieck categories

Еще в середине дня сегодня я думал, что если в абелевой категории Гротендика всякая короткая точная последовательность расщепляется, то всякий объект является прямой суммой неприводимых. Однако утверждается, что это не так. Абелева категория Гротендика, в которой все короткие точные последовательности расщепляются, называется spectral category (в старом смысле слова, в отличие от нового "категория, обогащенная над спектрами", в смысле теории гомотопий).

Слово "спектральная" здесь означает, что в таких категориях имеются феномены дискретного и непрерывного спектра (как в спектральной теории бесконечномерных операторов в функциональном анализе). Всякая спектральная категория является декартовым произведением двух: дискретной и непрерывной. Дискретная спектральная категория -- это то же самое, что категория Гротендика, в которой всякий объект является прямой суммой неприводимых. В непрерывной спектральной категории неприводимых объектов нет.

Пишут, что если спектральная категория удовлетворяет Ab6, то она дискретна. Также легко видеть, мне кажется, что если спектральная категория локально слабо конечно порождена (например, локально конечно представима или локально конечно порождена), то она дискретна. Пишут также, что спектральные категории описываются в терминах регулярных в смысле фон Неймана некоммутативных колец, инъективных как модули над собой (с подходящей стороны).

Ссылки: книжки Стенстрёма про кольца частных (1975) и Попеску про абелевы категории (1973); немецкоязычная статья Gabriel, Oberst "Spektralkategorien und reguläre Ringe im Von-Neumannschen Sinn" (Math. Zeitschrift 1966), ее перевод на английский, выложенный здесь -- http://personal.denison.edu/~whiteda/files/Expository/German%20Exam.pdf ; и еще найденная гуглением на "spectral category" статья P. Strömbeck "On the spectral category of some rings", Math. Scand. 33 (1973) -- https://www.jstor.org/stable/24490625 .