September 11th, 2018

Готовлюсь к короткому докладу по работе про плоские эпиморфизмы счетного типа

Получается так: мы хотим доказать, что проективная размерность второго кольца как модуля над первым не превосходит единицы. Это выводится из некоторого свойства Hom-перпендикулярности некоторых модулей Ext. На самом деле, это эквивалентная переформулировка, как совсем нетрудно видеть.

Некоторые модули Hom в Q/Z, двойственные к модулям кручения, образуют намного более узкий класс модулей. Эти модули очевидным образом обладают некоторым более сильным свойством Ext-перпендикулярности. Нам нужно выразить произвольный модуль Ext определенного типа через модули Hom в Q/Z так, чтобы известное нам свойство Ext-перпендикулярности, которым обладают вторые, влекло за собой интересующее нас свойство Hom-перпендикулярности, которым хотелось бы, чтобы обладали первые.

К интересующим нас модулям Ext определенного типа сходится спектралка от модулей Ext более частного вида, образующих класс, промежуточный между двумя классами модулей, о которых шла речь выше. Грубо-приблизительно говоря, мы хотим свести интересующий нас вопрос Hom-перпендикулярности модулей Ext определенного типа к такому же свойству Hom-перпендикулярности модулей Ext более частного вида, а этот вопрос потом свести к свойству Ext-перпендикулярности модулей Hom в Q/Z.

И вот на этом-то этапе мы замечаем, что все модули Ext более частного вида являются контрамодулями над некоторым топологическим кольцом. Предположение счетной базы окрестностей нуля у этого топологического кольца делает теорию таких контрамодулей технически достаточно мощной, чтобы обеспечить возможность сведения интересующих вопросов перпендикулярности с широкого класса модулей Ext определенного типа к классу всех контрамодулей над этим топологическим кольцом, а там и к модулям Hom, двойственным к модулям кручения.

При этом без предположения счетности базы теорема, которую мы таким образом доказали, просто неверна, конечно.

Как все это называется? "Из пушки по воробьям", все это называется! Контрамодули выступают здесь в роли вспомогательного технического инструмента гомологической алгебры колец и модулей. Вся надежда на то, что инструмент этот окажется достаточно эффективным.

К предыдущему

Дело в том, что исследовательские программы в математике бывают разные. Пользуясь известной метафорой, можно сказать, что если стоит задача подняться на вершину Эвереста, то достаточно пройти по одной узкой тропинке, ведущей на вершину Эвереста. Но если задача состоит в том, чтобы исследовать новую, недавно открытую горную страну, то нужно подняться по множеству тропинок на множество вершин и перевалов, повыше и пониже.

Есть известная критическая постановка вопроса: можно ли с помощью предлагаемой новой техники доказать что-нибудь такое, что нельзя доказать без нее? Имеются в виду естественно формулируемые на старом языке утверждения, доказательство которых без привлечения новых понятий оказывается слишком сложным, чтобы его можно было придумать.

Отношение к этой постановке вопроса возможно разное. Рота в своей статье о Грассмане писал о ней с презрением:

"Evil tongues whispered that there was really nothing new in Grassmann's exterior algebra, that it was just a mixture of Moebius' barycentric calculus, Pluecker's coordinates, and von Staudt's algebra of throws. The standard objection was expressed by the notorious question, "What can you prove with the exterior algebra that you cannot prove without it?" Whenever you hear this question raised about some new piece of mathematics, be assured that you are likely to be in the presence of something important. In my time, I have heard it repeated for random variables, Laurent Schwartz' theory of distributions, ideles and Grothendieck's schemes, to mention only a few. A proper retort might be: "You are right. There is nothing in yesterday's mathematics that you can prove with exterior algebra that could not also be proved without it. Exterior algebra is not meant to prove old facts, it is meant to disclose a new world. Disclosing new worlds is as worthwile a mathematical enterprise as proving old conjectures."

<...>

It took almost one hundred years before mathematicians realized the greatness of Grassmann's discovery. Such is the fate meted out to mathematicians who make their living on definitions."


https://posic.livejournal.com/876061.html

Неизвестно, что будет через сто лет, и можно надеяться на разные вещи, но "на Бога надейся, а сам не плошай", как известно. Раз уж так неожиданно получилось, что я жив до сих пор и работоспособен, то можно пытаться делать что-нибудь полезное. К этой категории относится и поиск приложений моих понятий, applications, которые так любит современная публика.

Довольно впечатляющие, на мой вкус, приложения контрамодулей к коммутативной алгебре -- в смысле сформулированной выше постановки вопроса о естественных утверждениях на старом языке, докательство которых стало практически возможным только с появлением языка нового -- были найдены летом 2017 года, в двух моих совместных с пражским аспирантом работах.

Работа, о которой идет речь в предыдущем постинге, появилась на год позже. В ней содержатся некоторые приложения контрамодульных техник к некоммутативной алгебре.

Эпиморфизмы колец -- популярный по нынешним временам сюжет в соответствующих узких кругах. Может быть, появление этой работы расширит круг моих современников, знающих что-то о контрамодулях, на какую-то небольшую дельту.