August 4th, 2018

Предотъездный угар (рефлексия) - 2

На самом деле, я бы сказал, что на протяжении объемлющего примерно двадцатилетнего периода, с 1992 до 2012 или около того, главной проблемой, передо мной стоявшей, было не то, что какие-то тексты долго оставались не написанными. Вопрос стоял, собственно -- чем заниматься?

В ретроспективе, это очевидно. Никто не мог бы поставить ни себе, ни кому-либо задачу типа "открыть пропущенную классиками половину алгебры". Или "найти в 1999 году в библиотеке всеми забытое определение контрамодуля в мемуаре 1965 года и развитить из него теорию с приложениями к основаниям теории представлений и алгебраической геометрии, коммутативной и некоммутативной алгебре".

Я человек увлекающийся. Тем, что я не нахожу достаточно увлекательным, я заниматься не могу и не занимаюсь, и никогда не занимался. Меня притягивают какие-то математические объекты или области (на протяжении длительного времени это были кошулевы алгебры, потом мотивы с конечными коэффициентами и т.д.), и я готов размышлять о них годами и чуть ли не десятилетиями, пытаясь что-нибудь там сделать. Но сделать что-то достаточно нетривиальное удается не всегда.

В начале 00-х годов мне было уже под 30, и проблема ощущалась довольно остро. Карьерные аспекты меня не занимали, будучи отчетливо второстепенны по сравнению с главным вопросом: что, собственно, я собираюсь сделать в математике? "Закончить и опубликовать книжку про квадратичные алгебры" -- не казалось убедительным и удовлетворительным ответом на этот вопрос. "Написать и опубликовать работу про производные категории второго рода и производную неоднородную кошулеву двойственность" -- в общем, тоже.

В ретроспективе это, опять же, вполне заметно. Обе эти работы давно опубликованы, собрали все эти десятки цитирований, но они до сих пор не вызвали такого развития событий в работах других математиков, участие в котором могло бы наполнить смыслом мое существование. Написаны эти работы или не написаны, обнародованы или не обнародованы, а чем дальше заниматься, мне все равно предстояло искать самому.

Зачем карьера, если главное в жизни не достигается? Признания хочется тому, кто считает, что уже сделал или делает сейчас то, что, собственно, должно быть признанным. Если я вообще думал об этом в первой половине 00-х годов, то, видимо, мне хотелось, чтобы признано было то, что я открою в будущем, а не то, что я уже знал к этому времени.

Предотъездный угар (рефлексия) - 3

На самом деле, одно почти необходимое для написания работы про производные категории второго рода условие не было выполено в начале 00-х годов. Нужного слова, термина не было. Словосочетание "копроизводная категория" впервые появилось в заметке Бернарда Келлера, излагавшей некоторые результаты из диссертации Лефевра-Хасегавы. Написана эта заметка была, видимо, году в 2003 или 2004, а узнал я о ее существовании в 2005 или 2006.

Терминологическая идея эта кажется постфактум почти очевидной, но я не додумался до нее за несколько лет выступлений с докладами на эту тему после весны 1999 года. Получилось так, что я придумал, как правильно определить копроизводную категорию, а Бернард -- как правильно ее назвать. (При этом мое определение копроизводной категории Бернард с соавторами тоже придумали -- но в контексте другой задачи; то есть, как бы, они не знали, где и как ее правильно использовать.)

Ну, а писать и читать текст, в котором копроизводные категории называются "производными категориями второго рода Дэ-штрих", а контрапроизводные -- "производными категориями второго рода Дэ-два-штриха", было бы существенно менее приятно, чем то, что в итоге получилось. Так или иначе, когда я, наконец, нашел на домашней странице Бернарда его заметку и ознакомился с терминологией "копроизводная категория", первой моей работой, в которой эта терминология развивалась и использовалась, стал текст на другую тему, существенно более сложную.

Предотъездный угар (рефлексия) - 4

Как теперь ясно постфактум, работа, остававшаяся на протяжении многих лет (а может быть, и сейчас остающаяся) важнейшей работой моей жизни, была уже почти сделана к осени 2002 года. Но это "почти" было трудно преодолеть. Речь идет о работе по полубесконечной гомологической алгебре, которая была в итоге написана во второй половине 00-х и вышла из печати в виде толстой монографии. По состоянию на момент времени, о котором идет речь, она существовала в виде двух серий писем, адресованных Сереже Архипову и Роме Безрукавникову и написанных летом 2000 и летом 2002 годов.

Собственно, вопросом, который я мучительно решал на протяжении нескольких лет в середине 00-х годов было -- какая из двух основных тематик моих тогдашних интересов должна была стать главной, мотивы с конечными коэффициентами (когомологии Галуа, и т.д.) или экзотические производные категории (полубесконечные когомологии, и т.д.)?

С октября 2002 по сентябрь 2003 я был визитором в Институте Макса Планка в Бонне, и когда мне предложили в январе сделать доклад на большом институтском семинаре про гипотезу Милнора-Блоха-Като и т.д., я сказал, что расскажу лучше про полубесконечные когомологии. В результате я выступал перед на три четверти пустым залом, слушать про полубесконечные гомологии ассоциативных алгебр почти никто не пришел, но Фальтингс пришел.

Доклад получился несколько скомканным, как нередко бывало у меня в те годы, но одна из вещей, которую я подчеркивал -- это что рассказываю я про некоторое определение; ничего, кроме определения, собственно, пока и нет. В конце Фальтингс спросил -- ну, хорошо, а эта ваша теория полубесконечных голомологий ассоциативных алгебр дает нужный ответ для алгебр Ли? Этого я не знал. Собственно, я и сам понимал, что без такой теоремы сравнения эта моя работа остается совсем не сделанной. Но и Фальтингс был, насколько я понял, того же мнения.

Другим основным результатом этой работы, о котором я мог бы рассказывать в каких-нибудь аудиториях, была теорема о производном полумодульно-полуконтрамодульном соответствии. Но и она оставалась к тому времени еще не доказанной, поскольку доказательство ее, изложенное в моих письмах 2002 года, зависело от некой технической гипотезы (доказать которую мне удалось только весной-летом 2006).

Уже перед самым отъездом в Москву, в сентябре 2003 года, я все-таки согласился и про гипотезу Блоха-Като рассказать на большом семинаре в Максе Планке, и этот мой доклад прошел на ура при битком набитом зале. Но дело-то было не в этом, а, собственно, в том, что что-нибудь новое сделать в этой области у меня получалось лишь изредка, и как основной предмет для постоянных занятий она мне не подходила.

Промучившись на эту тему несколько лет, как-то в один из дней в конце октября 2006 года я начал думать о том, как бы поженить науку про полубесконечные (ко)гомологии ассоциативных алгебр как теорию когомологий для алгебр над коалгебрами ("полуалгебр"), излагавшуюся в моих письмах к Роме и Сереже -- с более классическим сюжетом про коалгебры над алгебрами ("кокольца"), про которые существовала некоторая литература. Нельзя ли сделать для коколец то, что делалось для полуалгебр в моих письмах? Нельзя ли надстроить одно над другим, развив науку про трехэтажные конструкции -- полуалгебры над кокольцами над кольцами?

Эта технически трудная задача с многочисленными деталями, требовавшими внимательного прописывания, послужила мне мотивацией для того, чтобы перестать валять дурака и начать записывать и обнародовать мои многочисленные результаты, накопившиеся за десять-пятнадцать лет. Многолетний бэклог был расчищен только к концу лета 2010 года.

Уже по ходу написания моей толстой книжки по полубесконечной гомологической алгебре, в 2007-08 годах нам с Сережей удалось разобраться с теоремой сравнения с полубесконечными гомологиями алгебр Ли. Доказательство вошло в итоговую монографию, вышедшую из печати в сентябре 2010 года, в виде приложения с нашим совместным авторством.

Предотъездный угар (рефлексия) - 5

В общем, конечно, человек, делающий карьеру по современным правилам западной математической академии, пытается обнародовать в достаточно законченном виде свои важнейшие результаты -- скажем так, "первую волну" своих важнейших результатов -- годам к 27-30. Возраст может использоваться не биологический, а привязанный к датам первых публикаций, получения Ph.D. и т.д.; если кто занимался в юности совсем другой деятельностью, на это могут быть сделаны поправки; но в остальном примерно так.

Но я-то начинал рано (первые мои работы были опубликованы в 1991 и 93 годах, степень Ph.D. получена в 1998); ничем, кроме математики, никогда не занимался; и при этом обнародование первой волны моих важнейших результатов -- это, в общем, 2009-11 годы. То есть, возраст лет 36-38. Конечно, книжка про квадратичные алгебры вышла из печати в 2005, но я к тому времени давно уже перестал заниматься ее тематикой.

Получаются, как минимум, 8-10 лет отставания по сравнению со стандартным расписанием. Можно сказать, что это те самые десять лет, которые мне пришлось провести в Москве после возвращения из европейских постдоков, с осени 2003 по весну 2014 года.

Вообще, конечно, ничего бесплатного не бывает. В сущности, я отказался пользоваться институтом научного руководства так, как им обычно пользуются, предпочтя не продолжить направление чьих-то исследований, но основать почти на ровном месте новое. Не задачи, поставленные какими-нибудь корифеями, решать, не чьи-то гипотезы доказывать, а свои собственные задачи и гипотезы ставить, решать и доказывать.

Соответственно, немало времени ушло на поиск подходящей точки приложения усилий. В процессе этого поиска я прошел некий путь по довольно непрерывной, можно даже сказать, гладкой (хотя и немножко разветвляющейся) траектории, к нынешнему времени уже в основном размеченной опубликованными работами. Хотя результаты поиска в таких случаях могут быть важнее, чем процесс, но -- посмотрим.

Что может быть дальше? Я не знаю, что может быть дальше. По моим наблюдениям, в современном мире люди ожидают, что им должна быть польза и удовольствие от их занятий наукой, и в этом русле инструктируется молодежь. Мне казалось и кажется более правильным стремиться к тому, чтобы математике была польза от моих ею занятий. В этом отношении, моя деятельность была небезуспешной и небезрезультатной, по-моему.

Думать о своем личном будущем невозможно. Кто-то, может быть, может -- я не могу. Человек смертен и внезапно смертен, и т.д. Гибели от исчерпания источников средств к существованию вследствие не сложившейся карьеры хотелось бы избежать, конечно; и может быть, мне даже удастся ее избежать, если будет так продолжаться, как сейчас идет.

Хотелось бы, чтобы у того, что я сделал в математике, было будущее. Шире говоря -- хотелось бы, чтобы у математики было будущее. Чтобы у современной цивилизации было будущее. Хотелось бы в меру крайне ограниченных сил способствовать всему этому, пока я жив.