July 19th, 2018

Левое и правое

Между прочим, мне иногда везет. Как многие слыхали (я, например -- еще будучи школьником, от Ю.П. Размыслова), все люди в теории некоммутативных колец делятся на "левых" и "правых". В смысле, тех, для кого слова "модуль над кольцом" означают по умолчанию -- левый модуль, и тех, для кого этот модуль правый.

Вопрос связан с тем, с какой стороны от аргумента писать функцию -- f(x) или (x)f, с известной проблемой контринтуитивности обозначений для композиции отображений, и т.д. В целом, как я понимаю, история некоммутативной алгебры сложилась так, что более старорежимные люди предпочитают правые модули, а испытавшие больше современных влияний -- левые. Условно говоря, можно ожидать, что алгебраист с мехмата МГУ будет писать элементы кольца справа от элементов модуля, а алгебраист с матфака ВШЭ -- слева.

В Праге модули по умолчанию правые. Для меня модули по умолчанию левые.

Так или иначе, в классической монографии Бо Стенстрёма про некоммутативные кольца частных предпочитаются правые модули. Рассматриваются топологии Габриэля, состоящие из правых идеалов, каждому правому модулю сопоставляется его модуль частных относительно такой топологии, и т.д. Произвольная категория Гротендика представляется в виде факторкатегории категории правых модулей над ассоциативным кольцом по локализующей подкатегории модулей кручения относительно такой топологии, и т.д. Конечно, там встречаются и левые модули (например, совершенным топологиям Габриэля правых идеалов соответствуют плоские слева эпиморфизмы колец), но правых больше.

В оригинальной диссертации Габриэля, как я сейчас погляжу, использовалась та же конвенция -- конструкция локализации применяется к правым модулям. Но Бурбаки, вставившие конструкцию некоммутативной локализации в упражнения к своей книге по коммутативной алгебре, написали ее для левых модулей.

Я еще в 2000-02 и 2006 годах, начиная писать про контрамодули над коалгебрами, полуалгебрами, кокольцами и т.д., принял конвенцию, что комодули могут быть как левыми, так и правыми, но контрамодули практически всегда левые. На самом деле, в этой науке нередко нужно рассматривать бикомодули (левые над одной коалгеброй и правые над другой, или даже над той же самой одновременно); но биконтрамодули, кажется, никогда не встречаются.

В 2007-08 годах у меня появились левые контрамодули над топологическими кольцами. Для того, чтобы их определение имело смысл, кольцо должно иметь базу топологии, состоящую из правых идеалов. Наряду с левыми контрамодулями, над таким кольцом имеет смысл рассматривать правые дискретные модули (они же модули кручения -- грубо говоря, примерно то же самое, что комодули).

Десять лет прошло, длинный ряд текстов про (естественно, всегда левые) контрамодули я постепенно понаписал за эти годы. Наконец, и конструкция некоммутативной локализации из книжки Стенстрёма привлекла к себе мое внимание. И -- ура! Там топологии правых идеалов, и у меня топологии правых идеалов. Там правые модули кручения, и у меня дискретные правые модули. Моя конвенция про левое и правое оказалась совместима с классической!

А что у классиков не было контрамодулей (ни правых, ни левых), так у меня зато они есть.

Придумал термин "псевдо-F-система"

Это у меня будет основное техническое понятие для вычисления некоторых модулей Ext. С контравариантной F-системой связан дискретный правый R-модуль, с ковариантной F-системой связан левый R-контрамодуль, а с псевдо-F-системой связан просто R-модуль. Левый или правый, смотря по тому, ковариантная она или контравариантная.

Здесь буква F обозначает, конечно, фильтр правых идеалов, а не то, что вы подумали.

(Ну, не умею я красивые термины выдумывать, что ж теперь поделать. У меня еще "контрамодульные модули" иногда встречаются. И копроективные комодули, конечно, как же без них.)