June 7th, 2018

- Чем вы занимаетесь?

- Гомологической алгеброй.
- А чем конкретно?
- (продолжительное молчание, слышен скрип мозгов) ... В последние годы -- контрамодулями. В последние лет пятнадцать я занимаюсь, в основном, контрамодулями, наряду с некоторыми другими вещами. Уверен, что вы никогда не слыхали о контрамодулях.
- Да, признаться, не слыхал. Что это такое?
- (продолжительное молчание, слышен скрип мозгов) ... А! вот как это можно объяснять. На аспирантских курсах в университетах, а может быть, иной раз, и на студенческих, людей учат, что проективные объекты в категориях модулей выглядят проще, чем инъективные, но во многих встречающихся в жизни абелевых категориях проективных объектов нет, а инъективные есть.
- Да?
- Ну, там, в категориях пучков, и т.д.
- А, ну да.
- Так вот, это они так говорят потому, что не слыхали про контрамодули.
- А что такое контрамодули?
- Контрамодули образуют абелевы категории с достаточным количеством проективных объектов.
- Где они возникают?
- (молчание, скрип мозгов) ... Например, в tilting theory. Вы слыхали про tilting theory?
- Кажется, что-то такое слыхал... может быть...
- Если у вас есть бесконечно-порожденный тильтинговый модуль, то сердцевина соответствующей t-структуры является абелевой категорией. Эту категорию можно описать как категорию контрамодулей над топологическим кольцом эндоморфизмов тильтингового модуля.
- ... Но что это такое, конкретно?
- Контрамодули -- это модули с операциями бесконечного суммирования. Когда у вас есть просто модуль над кольцом, там можно элементы модуля умножать на константы из кольца. И еще складывать элементы модуля можно. Можно рассматривать конечные линейные комбинации элементов модуля с коэффициентами, принадлежащими кольцу.
- Да.
- А в контрамодулях, там определены некоторые бесконечные линейные комбинации элементов контрамодуля с коэффициентами из кольца.
- И в этом вся разница с обычными модулями?
- Да.

(Смешно, что так всегда было, более-менее. В годы юности моей я смущался еще сильнее, отвечая "кошулевыми алгебрами". Потом -- "мотивами с конечными коэффициентами", "полубесконечными когомологиями", и т.д. Некоторое облегчение настало, конечно, когда появился общий ответ "гомологической алгеброй". Но лишь частичное, как видно.)