April 16th, 2018

Контрамодули и делимые модули над конечно-порожденными идеалами

Пусть R -- коммутативное кольцо и I ⊂ R -- конечно-порожденный идеал в R. R-модуль D называется I-делимым, если R/I ⊗R D = 0 (т.е., попросту, ID = D). R-модуль C называется I-контрамодулем, если он является s-контрамодулем для всех s ∈ I (достаточно проверить это условие для любого множества образующих I, или даже для любого множества образующих какого-нибудь идеала в R, радикал которого содержит I).

Интересующая нас лемма -- это вариант леммы 4.2 из статьи Contraadjusted modules, contramodules, ... (Moscow Math. J. 2017). Доказательство ниже альтернативно доказательству, намеченному в статье.

Лемма. Если R-модуль D I-делим, а R-модуль C является I-контрамодулем, то HomR(D,C) = 0.

Доказательство. Заметим, что пересечение любого семейства подмодулей C, являющихся I-контрамодулями -- тоже I-контрамодуль (потому, что пересечение подмодулей -- это ядро морфизма в произведение фактормодулей, а класс всех I-контрамодульных R-модулей замкнут относительно ядер, коядер и произведений).

Пусть f: D → C -- R-модульный морфизм. Обозначим через C' ⊂ C пересечение всех I-контрамодульных подмодулей C, содержащих im(f). Тогда C' -- тоже I-контрамодульный R-модуль, и мы имеем R-модульный морфизм f': D → C'.

Подлемма (I-контрамодульная лемма Накаямы). Для любого ненулевого I-контрамодульного R-модуля K, его фактор(контра)модуль K/IK тоже ненулевой.

Доказательство подлеммы: пусть s1, ..., sm -- какое-нибудь множество образующих идеала I. Тогда из того, что K -- ненулевой sm-контрамодуль, следует, что R-модуль K/smK ненулевой. Этот R-модуль является контрамодулем для идеала, порожденного s1, ..., sm−1 в R (и даже для идеала I, конечно, тоже, но это нам уже не нужно), и остается использовать индукцию по m.

Теперь мы можем закончить доказательство леммы. Рассмотрим композицию морфизмов D → C' → C'/IC'. Имеем HomR(D,B) = HomR(D/ID,B) = 0 для любого R/I-модуля B. Поэтому композиция наших двух морфизмов равна нулю, т.е., образ морфизма f' содержится в IC'. Но IC' является I-контрамодулем как ядро морфизма I-контрамодулей C' → C'/IC' (любой R/I-модуль является I-контрамодулем, разумеется). Поскольку C' не имеет собственных I-контрамодульных R-подмодулей, содержащих образ f', отсюда следует, что IC' = C'. Согласно подлемме, мы заключаем, что C' = 0, откуда f' = 0 и f = 0.

Контрамодули и банаховы пространства - 1

Одна идея вертится у меня в голове в последние недели: что контрамодули над целыми p-адическими числами являются неархимедовыми аналогами банаховых пространств. Что делать с этой идеей и куда ее положить, не соображу.

Что такое банахово пространство (над вещественными или комплексными числами)? Правильная категория банаховых пространств -- это та, в которой морфизмы -- не произвольные непрерывные ( = ограниченные) линейные операторы, а контракции. Линейные операторы, по норме не превосходящие единицы. Эта категория даже не аддитивна, зато в ней есть бесконечные прямые суммы и произведения (в категории банаховых пространств и непрерывных линейных отображений их не существует).

Другими словами ту же мысль можно выразить так: правильный забывающий функтор из банаховых пространств в множества сопоставляет банахову пространству его замкнутый единичный шар. Замкнутый единичный шар банахова пространства -- это такой, практически, алгебраический объект. Множество с операциями. Какими операциями?

Любой последовательности векторов из единичного шара банахова пространства и любому ряду числовых коэффициентов (вещественных или комплексных -- смотря над каким из этих полей наше банахово пространство) с суммой абсолютных величин этих числовых коэффициентов, не превосходящей единицы -- сопоставляется вектор из единичного шара: сумма этих векторов с этими коэффициентами. Уравнения, которым удовлетворяет эта бесконечноместная алгебраическая операция, нетрудно выписать (что бывает, когда один и тот же вектор с разными коэффициентами складывают (унитальность) + от перестановки слагаемых значение суммы не меняется (коммутативность) + в сумме ряда сумм рядов можно раскрыть скобки и просуммировать сразу по всей двухиндексной последовательности (ассоциативность) -- я ничего не пропустил?) Тогда множество с такой операцией, удовлетворяющей таким аксиомам, однозначно определяет банахово пространство, замкнутым единичным шаром которого оно является.

На современном жаргоне можно сказать, что категория банаховых пространств с контракциями в качестве морфизмов эквивалентна категории алгебр над соответствующей монадой на категории множеств. Что это за монада? Если быть точным, то она сопоставляет произвольному множеству X подлежащее множество единичного шара банахова пространства эль-один последовательностей чисел, индексированных элементами Х. Т.е., множество всех таких последовательностей с суммой абсолютных величин значений во всех точках, не превосходящей единицу. Конечно, носитель каждой такой последовательности не более, чем счетен (какова бы ни была мощность X). Поэтому говорят, что категория банаховых пространств с контракциями в качестве морфизмов "алеф-один локально представима" (алеф-один здесь фигурирует как кардинал, непосредственно следующий за счетным кардиналом).

Update: оказывается, вышеизложенное совершенно неверно, а я запутался. Объекты вышеописанной "алгебраической версии категории банаховых пространств" называются тотально выпуклыми пространствами. Банаховы пространства образуют в их категории полную подкатегорию, как утверждается, рефлективную. Обе категории алеф-один локально представимы.

Вот пример тотально выпуклого пространства, не являющегося единичным шаром банахова пространства: взять замкнутый единичный шар любого банахова пространства (например, одномерного -- отрезок [-1,1]) и профакторизовать по отношению эквивалентности, склеивающему все внутренние точки в одну толстую точку. Кроме того, открытый единичный шар любого банахова пространства тоже является тотально выпуклым пространством.