April 10th, 2018

(Не)существование диссертации

Году в 1997-м, а может быть, и в 96, мне хотелось, чтобы моя Ph.D.-диссертация состояла из трех частей. Первая про гипотезу Богомолова, вторая про артин-тейтовские мотивы с конечными коэффициентами, и третья -- приложение техник, развитых во второй части, к абстрактному вопросу о t-структурах производного типа. Это не то, что мой научный руководитель (кто-либо из моих научных руководителей) говорил мне, что так оно должно быть, -- нет, -- мне самому казалось, что так оно было бы естественно.

Фактически диссертация, защищенная в сентябре 1998 года, была очень короткой (как утверждает теперь MathSciNet, 24 страницы -- это, наверное, включая титульный лист и т.п.), и содержала только первую часть. Сколько-нибудь настоящее понимание того, о чем в ней шла речь, появилось на три года позже, где-то в июле 2001. Весной 2005 года работа была переписана и в том же году вышла из печати в журнале International Mathematics Research Notices. Современная версия, исправленная и дополненная, датируется июнем 2014 года -- https://arxiv.org/abs/1405.0965

То, про что я собирался написать во второй части диссертации, было в простейшем случае (тейтовских мотивов) анонсировано на двух страницах тезисов доклада в Обервольвахе осенью 1999. Но то, что мне на самом деле хотелось там сделать (общий случай артин-тейтовских мотивов), мне удалось сформулировать и доказать только в феврале-марте 2010 года (!). Длинная статья, немалая доля объема текста которой (в частности, большая часть введения, аппендиксы и т.д.) была в том или ином виде написана еще в аспирантские годы, была обнародована на Архиве в июне 2010 -- https://arxiv.org/abs/1006.4343 -- и опубликована в Московском математическом журнале во втором квартале 2011 года.

Планировавшаяся третья часть диссертации покрывается той же статьей в MMJ-2011. Но можно сказать, что ближе всего ей соответствует работа, написанная в 2015-16 годах после того, как по моем приезде в Израиль обнаружилось, что коротко сформулированный в статье в MMJ-2011 контрпример (придуманный, действительно, еще году в 1996, в аспирантуре) отвечает на вопрос, которым в 2010-х заинтересовалась публика в Америках и Европах. Вот архивная версия этой работы -- https://arxiv.org/abs/1507.04691 , а журнальная вышла из печати в Journ. of Algebra весной 2017 года.

Почему так получается? Я не знаю. Может быть, потому, что в юности человек знает больше про математику, чем про самого себя. Задачи эти казались мне разрешимыми и оказались таковыми, а уж сколько времени это заняло... какая разница? Все равно у нас целая вечность впереди.

Ландшафты звездные и горные (нагромождение метафор)

Математика, она как должна быть устроена? Как сетка. В каждом узле сидит по человечку, поддерживающему контакт с человечками в соседних узлах. У которых узлов побольше соседей -- те более важные, в каком-то там смысле (таков один из критериев).

Или, если угодно, как горная страна. В каждой долине лежит аул, где путешественнику расскажут местные новости и проводят до тропы на перевал, ведущий в соседнюю долину.

А что вместо этого происходит? Происходит дерево, оно же разбегающиеся галактики. У математика Икс десять учеников, каждому из них он выдал по задаче. Получив у Икса свою задачу, математик Игрек-эн (где эн от одного до десяти) всю жизнь занимается этой задачей и тем, что из нее вытекает. У математика Игрек-эн, в свою очередь, тоже десять учеников. Каждый из них получает по задаче, являющейся одним из возможных развитий задачи, которой занимался Игрек-эн. Получив у Игрек-эн свою задачу, математик Зет-эн-эм (где эм от одного до десяти) всю жизнь занимается... и так далее.

Если ближайший общий предок математиков А и Бе был пятью уровнями вверх по дереву (что значит, что он давно уже умер и все его непосредственные ученики тоже умерли), то никакой связи между занятиями А и Бе не существует. Между ними лежит пустота; что там происходит -- Бог весть. Может быть, математик Игрек-восемь не поставил в свое время никому из своих учеников какую-то важную задачу. Не подумал о ней, упустил. Исправить это теперь уже нельзя, все, проехали. То, что могло бы стать галактикой, превратилось в пространство неосвещенной, темной материи, разъединяющее собою то, что его окружает.

Почему так? Потому что "научному руководителю виднее, какую задачу аспирант сможет решить за достаточно разумное время, чтобы его карьера не пострадала".

Математикам становится тоскливо от жизни такой, и они начинают брать пример с физиков, работающих в режиме гигантского резонанса. То есть, кидаются в противоположную крайность. Кому-то из математиков дают филдсовскую премию, он провозглашает какую-то программу, и обитатели десятков и сотен удаленных звезд дезертируют со своих позиций, бросают все, чем до сих пор занимались, и наваливаются шумной, бестолковой толпой на очередной перепиаренный проект очередной знаменитости, чтобы потом бросить и его и побежать куда-нибудь еще.

А как надо? А надо, еще раз, как сетка. Или как горная страна. См. выше.

А как этого добиться? А я не знаю. Мои мои родители завещали мне "любить не себя в науке, а науку в себе", но что это значит, пусть каждый понимает по своему.

Я делаю -- как по факту выяснилось теперь, когда жизнь, в сущности, уже прожита -- так: выбираю, какая из окружающих гор мне больше других нравится, и пытаюсь взобраться на вершину. Обычно это какая-нибудь непопулярная среди других математиков гора, но такая, про которую мне почему-то верится, что когда я взберусь на нее, мне откроется такое, чего с другой горы не увидишь. Иногда это подтверждается, иногда нет. В первом случае, может открыться, например, вид на гору, о самом существовании которой никто, кроме меня, не подозревает, -- и мне хочется взобраться и на нее тоже.

После нескольких итераций обнаруживается, что я перевалил через хребет и перебрался из московской гомологической алгебры в пражско-падуйскую, например. Теперь между ними уже не пустота, а тропинка.