February 23rd, 2018

Ланкастерские впечатления

1. Бывают науки, в которых сильные на вид утверждения оказываются неожиданно верны. Такова, например, наука про теории кокручения и тильтинг (в которой теперь оказались релевантны мои контрамодули). И бывают науки, в которых слабые на вид утверждения оказываются неожиданно неверны. Такова наука про производную кошулеву двойственность (для нужд которой я когда-то придумал производные категории второго рода).

Классические примеры областей математики, в которых слабые на вид утверждения оказываются неожиданно неверными -- это общая топология, топологическая алгебра, и т.д. В этом смысле, производная кошулева двойственность оказывается похожей на общую топологию.

Сильные общие утверждения в таких областях (теорема Тихонова, "три теоремы теории банаховых пространств" и т.д.) редки и высоко ценятся. А главной целью деятельности там, видимо, является поиск контекстов и уровней общности ("категорий", как на современном языке говорится), в которых такие утверждения оказываются верны чаще, чем обычно бывает.

2. Мои ланкастерские собеседники очень оптимистичны, на мой старческий вкус. С моей точки зрения, это выдает их неопытность в этой области.

Сам я, когда начинал размышлять об этих вещах четверть века назад, тоже был очень оптимистичен, с точки зрения моих тогдашних собеседников. Это, конечно, обычная ситуация: кто-нибудь приходит и делает то, что казалось невозможным признанным специалистам. Так происходит прогресс наук, вообще говоря.

3. Настало время "спуститься с горы в долину" в относительной неоднородной кошулевой двойственности, в том же смысле, в котором я сделал это в MGM-двойственности на протяжении последних двух-трех лет. Аудитория для таких текстов и спрос на них имеются в Ланкастере и окрестностях.

Ситуация, когда про D-Ω двойственность у меня только и написано, что приложение к мемуару про два рода производных категорий (плюс есть еще статья Сережи Р.) -- а вообще про отностительную неоднородную двойственность имеются только раздел 0.4 и глава 11 полубесконечного трактата -- по нынешним временам, просто неадекватна. (Скажем, статья про контрамодули над просовершенными топологическими кольцами, которую я писал в последние недели, ни в каком отношении не может быть названа более важной, чем то, что я имею сообщить про относительную неоднородную двойственность.)

Мои задумки насчет того, что можно было бы написать про неоднородную двойственность (собранные в мартовском, 2015 года, подзамочном ЖЖ-постинге http://posic.livejournal.com/1167120.html и по ссылкам оттуда), видимо, несколько подавляют меня самого своей обширностью -- что и становится причиной того, что они не осуществляются. Выход состоит, очевидно, в том, что на эту тему должен быть написан не один, а еще несколько текстов (в дополнение к уже имеющимся). Начиная с самых элементарных.

В конце концов, про MGM-двойственность только в 2015-16 годах я написал четыре препринта (которые все уже вышли из печати в той или иной степени, к настоящему времени). Плюс сколько-то там еще навеянных и сопутствующих. Про кошулевость, капиодинность и квазиформальность написал статью; про гладкую двойственность препринт; и т.д. Относительная неоднородная кошулева двойственность тоже заслуживает внимательного отношения. Много времени это не займет (ну, сколько там может на это уйти? полгода? вряд ли год; скорее, два-три месяца).

Три года прошло. Множество задумок осуществилось за это время. Постинг https://posic.livejournal.com/1167453.html следует признать устаревшим. Это моя традиционная тематика, и тезис об отсутствии аудитории после поездки в Ланкастер можно считать опровергнутым. Этот материал заслуживает лучшей участи, чем оказаться пропавшим и забытым. Вчера, может быть, было рано (были более насущные проекты); сегодня уже пора.