February 18th, 2018

Лемма о подъеме идемпотентов по модулю ниль-идеала

Правда, поразительное доказательство -- второе по ссылке https://stacks.math.columbia.edu/tag/00J9 ? Такое впечатление, что его придумали в какую-то другую эпоху, от нас очень далекую. Откуда взялись эти формулы, со всеми этими двойками, тройками, четверками? Как такое можно придумать, исходя из чего? Почему никто этого не объясняет?

Это -- очень хорошее доказательство. Авторов Stacks Project по ссылке интересует случай коммутативного кольца, но это доказательство никакой коммутативности не использует, конечно. (Точнее сказать, коммутативность не используется в интересующей нас части рассуждения по ссылке, касающейся существования подъема -- единственности нет в некоммутативном случае.)

Поиск на "lifting idempotents modulo nil ideal" выводит на разные рассуждения, такие как, например, http://www.math.hawaii.edu/~lee/algebra/idempotent.pdf . Это второе доказательство на первый взгляд кажется лучше -- прозрачнее, все формулы более-менее очевидные и никаких недоуменных вопросов не вызывают. Легче придумать, легче запомнить.

Но на самом деле лучше доказательство по первой ссылке, с загадочными формулами. Потому, что в нем нет произвольного выбора момента остановки процесса. Зависимости от показателя нильпотентности нет. Просто -- однозначно определенный, сходящийся итерационный процесс, дающий "канонический", функториальный ответ. Автоматически согласованный с гомоморфизмами колец, и легко обобщаемый на случай топологического кольца с топологически-ниль идеалом, например.

То же доказательство (с теми же странными формулами, слегка по-другому записанными) обнаруживается в Proposition 10.3.1 на странице 233 в книжке Hazewinkel, Gubareni, Kirichenko "Algebras, Rings and Modules" vol.1, Kluwer, 2004. Жалко, что никто не цитирует оригинальный первоисточник. Кто это придумал-то? Интересно же.