January 2nd, 2018

Потрясен и шокирован

обнаружением неожиданного доказательства того, что у категории контрамодулей над кольцом целых p-адических чисел (или формальными степенными рядами Тейлора от одной переменной над полем) -- у этой, хорошо мне знакомой, локально представимой абелевой категории нет множества кообразующих.

Ну, то есть, как "обнаружением" -- утверждение следует из того, что хорошо знаю и о чем писал я, плюс того, что утверждается в литературе. В эту литературу теперь, очевидно, придется вникать.

P.S. Да. Замечание Гротендика про стирающе инъективные морфизмы (см. следующий постинг) + доказательство Габбера зануления производных функторов обратного предела для последовательностей Миттаг-Леффлера в абелевых категориях со стирающе проективными морфизмами, воспроизведенное в статье Руса в Journ. LMS 2006, влекут несуществование кообразующих.

Все потому, что прямой предел последовательности ZpZp → … (групп целых p-адических чисел с отображениями умножения на p) зануляется в категории контрамодулей над целыми p-адическими числами. С другой стороны, важно, что функторы бесконечных прямых сумм точны в этой категории (в отличие от категорий контрамодулей над полными регулярными нетеровыми коммутативными локальными кольцами размерности, большей единицы).

Ср. контрпример в статье Неемана с аппендиксом Делиня в Inventiones 2002 (где прямой предел такой же последовательности зануляется в несколько более сложной категории у Неемана; а у Делиня -- так и практически в категории градуированных контрамодулей над топологическим градуированным кольцом формальных степенных рядов = градуированных контрамодулей над градуированной коалгеброй, двойственной к степенным рядам).

Effacements injectifs de Grothendieck

Следующее определение можно найти в разделе 1.10 знаменитой статьи Гротендика "Sur quelques points d'algebre homologique". Мономорфизм X → E в абелевой категории A называется стирающе инъективным, если для любого мономорфизма X → B в A найдется морфизм B → E, делающий треугольную диаграмму X → B → E коммутативной.

Мономорфизм X → E стирающе инъективен тогда и только тогда, когда индуцированный морфизм ExtA1(−,X) → ExtA1(−,E) зануляется. Если объект X можно вложить в инъективный объект J в категории A, то мономорфизм X → E стирающе инъективен тогда и только тогда, когда он факторизуется через мономорфизм X → J. Если в категории A существуют инъективные оболочки, то мономорфизм X → E стирающе инъективен тогда и только тогда, когда объект E содержит инъективную оболочку X в качестве промежуточного подобъекта между X и E.

В конце раздела 1.10 имеются три замечания. Первое из них утверждает, что если абелева категория A удовлетворяет Ab4 и Ab3* и имеет кообразующую, то из всякого объекта в A бьет стирающе инъективный мономорфизм. Вот доказательство этого утверждения из статьи Гротендика, придуманное мною после часа размышлений вчера вечером.

Обозначим кообразующий объект категории A через V. Будем называть морфизм f: X → Y в категории A стирающим, если для всякого мономорфизма X → B существует морфизм B → Y, делающий треугольную диаграмму X → B → Y коммутативной. По определению, морфизм в категории A стирающе инъективен тогда и только тогда, когда он стирающий и является мономорфизмом.

Нас интересуют стирающие морфизмы X → V из произвольного объекта X ∈ A в кообразующий объект V. Обозначим через S множество всех таких морфизмов; тогда имеется естественный морфизм X → VS в A (где VS -- произведение S копий объекта V в категории A -- существует, поскольку мы предполагаем, что A удовлетворяет Ab3*). Очевидно, что морфизм X → VS стирающий. Остается показать, что это мономорфизм. Пусть K -- ядро морфизма X → VS; предположим, что K ≠ 0.

Обозначим через T множество всех нестирающих морфизмов X → V. Для каждого t ∈ T, выберем мономорфизм X → Bt в категории A, такой что морфизм t: X → V не факторизуется через Bt. По предположению, категория A удовлетворяет Ab4 (и, в частности, Ab3), так что существует копроизведение T копий объекта X в A, копроизведение объектов Bt по всем t ∈ T, и копроизведение мономорфизмов X → Bt является мономорфизмом X(T) → ∐t∈T Bt.

Рассмотрим расслоенное копроизведение (pushout) последнего мономорфизма с естественным морфизмом X(T) → X. Получается мономорфизм X → C (где C -- факторобъект ∐t∈T Bt по ядру морфизма X(T) → X). В объекте X у нас имеется подобъект K; можно посмотреть на него как на подобъект в C. Поскольку V -- кообразующий объект категории A, найдется морфизм c: С → V, ограничение которого на K не равно нулю. Обозначим через x: X → V ограничение морфизма c на подобъект X ⊂ C.

Тогда морфизм x факторизуется через каждый из мономорфизмов X → Bt. Поэтому x ∉ T, откуда x ∈ S. Но все морфизмы X → V, принадлежащие S, зануляются на K, а x не зануляется на K. Полученное противоречие доказывает, что K = 0.

P.S. Ага, в терминологии Габбера морфизмы из класса, двойственного к тем, что я здесь называю "стирающими", называются "universally liftable". Так что и я мог бы вместо "стирающие" говорить "универсально продолжаемые", universally extendable. Или "повсеместно продолжаемые". Любой морфизм, факторизующийся через инъективный объект, является повсеместно продолжаемым, и т.д.

P.P.S. И обратно, если приглядеться к рассуждению, согласно которому любая кополная абелева категория с достаточным количеством инъективных объектов удовлетворяет Ab4, то можно видеть, что на самом деле оно доказывает, что любая кополная абелева категория, в которой из любого объекта бьет стирающе инъективный морфизм, удовлетворяет Ab4.