December 30th, 2017

Совсем как абелевы категории, только гораздо лучше

Много лет назад один из моих ЖЖ-френдов рисовал мрачную перспективу прогрессирующего расслабления стандартов строгости в математике, при котором математика постепенно превращается в философию, далее в художественную литературу, и в итоге в инструмент политической пропаганды (или что-то в этом роде). Сегодня я вспоминаю об этом, читая письмо, пришедшее от молодого бесконечность-категорщика.

Молодой бесконечность-категорщик пытается убедить меня, что (бесконечность,1) -категории -- совсем как абелевы категории, только гораздо лучше. Что он об абелевых категориях ничего не знает при этом -- то я вижу. Знает ли он что-нибудь о бесконечность-категориях, нужно спрашивать не у меня.

К предыдущему

Впрочем, и (бесконечность,1)-категории могут на что-нибудь сгодиться. А могут и не сгодиться. Вот два по-настоящему релевантных для меня вопроса:

1. Пусть B -- локально представимая абелева категория. Рассмотрим (бесконечность,1)-категорную версию ее производной категории D(B). Будет ли эта стабильная (бесконечность,1)-категория представимой?

2. Пусть D -- представимая стабильная (бесконечность,1)-категория и A -- сердцевина какой-то t-структуры на D. Является ли абелева категория A локально представимой?

Если ответы на оба эти вопроса вдруг положительны, это был бы большой прогресс в моей деятельности.

Update: подумав -- пункт 1. похож на правду, пункт 2. не очень. Кажется, что t-структур слишком много, и среди них могут быть довольно плохие. Наверное, пункт 2. имеет шанс быть верным для t-структур, порожденных множеством (а не классом) объектов, в каком-то там смысле. Но у меня тут копорожденная t-структура, что выглядит сложнее. Поэтому попробую-ка я сформулировать ослабленный вариант пункта 2. как обратное утверждение к пункту 1.:

2'. Пусть A -- абелева категория, такая что (бесконечность,1)-категорная версия ее производной категории D(A) является представимой (бесконечность,1)-категорией. Следует ли из этого, что категория A локально представима?

Можно наложить немного дополнительных условий на категорию A в пункте 2'., если это чем-то помогает. Предположим, что в абелевой категории A есть бесконечные прямые суммы, и что подобъекты любого фиксированного объекта образуют множество. Тогда 2'. верно?