December 17th, 2017

Геометрия и арифметика, штуки и мотивы

Распечатал и почитал (местами) текст будущего доклада Шольце на Конгрессе, только что выложенный им в Архив. Что можно сказать?

Много разных углов и закоулков есть в большой картине, которую он рисует. Наверное, в каком-то или каких-то из них пригодятся и контрамодули. Наверняка, практически -- не могут не пригодиться. Но где конкретно? И как именно?

См. https://arxiv.org/abs/1712.03708 , иллюстрации на страницах 19, 22 и 24.

Трудно отделаться от ощущения, что теоретико-числовикам будет гораздо проще освоить мои разработки, когда и если они им понадобятся, чем мне выучить их науку в поисках приложений моих идей. У них там синтетическая область, где используется все на свете, им много чего приходится выучивать, и похоже, что они вполне себе с этим справляются. Не каждый из них по-отдельности, конечно, а все вместе.

... Вопрос отчасти упирается в оценку предшествующего опыта -- моих занятий мотивами с конечными коэффициентами в неравных характеристиках и, шире, свойствами кошулевости в теории мотивов Тейта и Артина-Тейта. Что можно сказать об этом опыте?

У меня действительно ушло много времени на то, чтобы вникнуть в эту науку и продвинуться дальше первоначальных наблюдений 1994-95 годов. С другой стороны, в чем состоит достигнутый результат? Россыпь сделанных за последующие годы наблюдений все равно так и не сложилась в единое целое.

А.Л.С. заметил мне как-то, что мой подход состоит в том, чтобы свести теорию чисел к алгебре, а теория чисел к алгебре не сводится. Я ответил, что просто вижу в теории чисел объекты с интересными, с точки зрения гомологического алгебраиста, свойствами. Что-то мне в последнее время сдается, что он был более прав, чем я.

Две половины жизни

Навеяно https://jsn.livejournal.com/107633.html , см. также (намного более раннее и запомнившееся мне почему-то) https://kdv2005.livejournal.com/2504.html .

Мне кажется, что эта мысль -- о том, что жизнь человека делится на две половины соответственно тому, не верит ли он пока еще или верит уже в свою собственную смертность -- сейчас витает в воздухе, и что встречал я ее не только по ссылкам выше, но и в каких-то других блогах тоже. Напишу о том, как я это примеряю на себя.

Стремясь уйти от некоторой иррациональности (как мне представляется) взгляда, согласно которому взрослый человек может не верить в свою смертность, я попробую сформулировать это так. В результате, может быть, получится, наоборот, банальность.

Я бы сказал, что моя жизнь делится пополам согласно тому, казалось ли мне, что самое важное в ней еще впереди или уже позади. Водораздел проходит, примерно, по двухлетнему периоду между серединой августа 2004 и концом октября 2006 года.

Самым ярким проявлением стало изменившееся отношение к незаписанным результатам и необнародованным текстам. Где-то с начала 1995 года в моей голове накапливались постановки задач, теоремы, доказательства, определения и т.д., выразить которые на бумаге я не умел, или не хотел, или не торопился, или не стремился с достаточной силой -- но, в общем, в результате, они накапливались и оставались лежать без движения. Некоторые из этих вещей частично отображались в набросках текстов, которые, оставаясь незаконченными, существовали только у меня на компьютере или в ящике письменного стола; большинство -- хранилось у меня в памяти.

Понимал ли я, что могу, рано умерев от той или иной причины, унести свои идеи с собой в могилу? Думаю, что да. Почему меня это не беспокоило? Предложу рациональное объяснение: потому, что мне казалось, что самое важное, что я могу и должен сделать в математике, еще не сделано, не придумано, не понято. Что все это мне еще предстоит сделать и понять в будущем. Соответственно, если я рано умру, то беда будет в том, что погибнет непридуманное, а незаписанное по сравнению с этим незначительно.

После водораздела я считал, что самое главное, что мне суждено понять в математике, я уже понял, и публикация этого является важнейшей задачей на оставшуюся часть жизни. Этот взгляд воспроизводится и проецируется в будущее: по состоянию на каждый момент времени после водораздела я ожидаю, что последующие мои работы будут менее важны, чем предшествующие.

Если до водораздела существование многолетнего бэклога неопубликованных идей не побуждало меня ни к каким немедленным действиям -- то после водораздела моим характерным побуждением стало, "на всякий случай", успеть закончить и послать в Архив все, что я имею на этот момент сообщить, перед каждым очередным авиаперелетом или автомобильной поездкой.