November 13th, 2017

Левоперпендикулярные абелевы подкатегории в категориях модулей

1. Пусть K -- абелева категория Гротендика, и пусть A -- левоперпендикулярная подкатегория в K (в любом смысле слова). Тогда, во всяком случае, А замкнута относительно (прямых слагаемых и) бесконечных прямых сумм в K.

1а. Предположим дополнительно, что A -- абелева категория и функтор вложения A → K точен. Тогда (т.к. A полная подкатегория в K по определению) A замкнута относительно коядер в K. Сравнивая с пунктом 1., заключаем, что A замкнута относительно произвольных копределов в K.

2. Пусть K -- локально представимая абелева категория и A -- точно вложенная, абелева полная подкатегория, замкнутая относительно копределов в K. В этой ситуации, категория A имеет множество образующих тогда и только тогда, когда она корефлективна в K и функтор-корефлектор сохраняет λ-фильтрованные копределы для достаточно большого кардинала λ.

В самом деле, если A имеет множество образующих, то всякий сохраняющий копределы функтор из A в любую категорию имеет правый сопряженный по теореме Фрейда (отметим, что даже без предположения абелевости K, если в K есть произвольные копределы и A замкнута относительно копределов в K, то функтор A → K отражает эпиморфизмы -- достаточно рассмотреть cokernel pair в K эпиморфизма в A -- так что, если факторобъекты любого объекта K образуют множество, ср. [AR, Theorem 1.58], то то же верно и в A). Далее, все объекты категории A представимы, поскольку они представимы в K; и категория A локально представима, поскольку она имеет множество представимых сильных образующих [AR, Theorem 1.20]. Наконец, всякий правый сопряженный функтор между локально представимыми категориями сохраняет λ-фильтрованные копределы для достаточно большого λ [AR, Theorem 1.66].

Обратно, предположим, что K локально λ-представима, A корефлективна в K и корефлектор Γ: K → A сохраняет λ-фильтрованные копределы. Рассмотрим множество G всех объектов в A вида Γ(L), где L -- факторобъект λ-представимого объекта в K (или, что то же самое, L -- λ-порожденный объект в K [AR, Proposition 1.69]). Покажем, что всякий объект X из A является объединением (и даже, более того, копределом) своих подобъектов, принадлежащих G. Действительно, X является λ-фильтрованным копределом λ-представимых объектов Xi в K. Обозначая образ Xi в X через Yi, мы видим, что X является λ-фильтрованным копределом своих подобъектов Yi в K (ср. [AR, Theorem 1.70]). Применяя функтор Γ (который, заметим, как всякий правый сопряженный функтор, переводит мономорфизмы в мономорфизмы), мы обнаруживаем, что X является копределом своих подобъектов Γ(Yi).

3. В предположении принципа Вопенки, эквивалентные условия из пункта 2 всегда выполнены. Более того, всякая полная подкатегория, замкнутая относительно копределов в локально представимой категории, имеет множество образующих (и даже локально представима) и корефлективна (с функтором-корефлектором, сохраняющим λ-фильтрованные копределы для достаточно большого λ) [AR, Theorems 6.14 and 6.28, and Corollary 6.29]. Вообще, всякая полная подкатегория локально представимой категории имеет множество образующих (и даже small dense subcategory) в предположении принципа Вопенки [AR, Theorem 6.6].

4. Таким образом, в предположении принципа Вопенки, всякая точно вложенная левоперпендикулярная абелева подкатегория в категории Гротендика является категорией Гротендика. Было бы интересно знать, можно ли обойтись без принципа Вопенки в доказательстве этого факта для левоперпендикулярных подкатегорий к _множествам_ объектов/морфизмов (ср. [AR, Corollary 6.29], где упоминается co-orthogonality class, но про small co-orthogonality classes ничего не говорится).

5. Какие абелевы категории Гротендика являются (точно вложенными) левоперпендикулярными подкатегориями в категориях модулей над ассоциативными кольцами? Вот центральный вопрос.