September 18th, 2017

Эволюция основной тематики

1990-2000, 2010 -- кошулевы алгебры
1990-2012 -- неоднородная кошулева двойственность, алгебры с кривизной
1992-2012 -- производная кошулева двойственность
1994-2015 -- кошулевость в теории когомологий Галуа и мотивов с конечными коэффициентами
1995-2009 -- полубесконечные когомологии
1999-2017 -- производные категории второго рода и их приложения (включая в 2009-2013 годах матричные факторизации, и проч.)
2000-2017 -- производное комодульно-контрамодульное соответствие (включая с 2009 года ковариантную двойственность Серра-Гротендика, с 2014 года MGM-двойственность)
2002-2017 -- контрамодули в теории представлений и коммутативной алгебре (включая с 2009-12 годов контрагерентные копучки)

К предыдущему

В общем, получается, что эволюция прошла путь от кошулевых алгебр (класса довольно конкретных объектов с большим количеством примеров, которые можно считать) к контрамодулям (тоже классу довольно конкретных объектов с большим количеством примеров, которые можно считать).

Пройдя по дороге через абстрактные феномены скорее философско-математического свойства (кошулева двойственность, комодульно-контрамодульное соответствие) и сущности, считаемых примеров которых практически не существует (полубесконечные когомологии).

При этом про кошулевы алгебры по состоянию на момент, когда я начинал ими заниматься, уже существовала довольно обширная, в том числе недавняя, литература, включавшая разные громкие имена. То же самое можно сказать и про полубесконечные когомологии.

Литература по контрамодулям, с другой стороны, по состоянию на момент, когда я начинал ими заниматься (2000-02 годы), ограничивалась тремя работами 1965-70 годов, совершенно забытыми. И до сих пор, в общем, мои (в том числе, мои с соавторами) работы в этой тематике отчетливо доминируют. И никаких громких имен (кроме отцов-основателей, авторов мемуара 1965 года) там нет.

Нашел, в общем, можно сказать, свою тематику. Всю жизнь искал и нашел.

Еще к предыдущему

Мне кажется, в целом это история о том, что на протяжении своей жизни я последовательно уходил от популярных тематик. Использовал связанные с ними возможности -- для улучшения понимания предмета, популяризации своих идей и т.д. -- и уходил. Во второй половине жизни -- обычно оставляя после себя резко повысившиеся в результате моей деятельности концептуальные входные барьеры.

Несмотря на присутствие громких имен, кошулевы алгебры в 90-х годах вовсе не были популярной тематикой -- во всяком случае, намного менее популярной, чем то, чем занимались мои приятели, люди, у которых я учился, научные руководители и т.д. Меня предостерегали -- смотри, мол, стоит ли становиться специалистом по кошулевости. Рукопись нашей книги пролежала без движения почти десять лет, пока популярность предмета возрасла настолько, что ей заинтересовалось издательство Американского матобщества.

Работа про производную неоднородную кошулеву двойственность и производные категории второго рода пролежала десять лет у меня в голове. К моменту появления текста, тематика оказалась популярной из-за бума в двух областях: операдах и матричных факторизациях. Гомологическая матфизика, зеркальная симметрия и т.д. Я написал две статьи про матричные факторизации (в соавторстве) и ушел оттуда, оставив после себя технический и концептуальный задел, которого там хватит, я думаю, на десятилетия.

Под конец я написал еще книжного размера текст про алгебраические основания теории Фукаи (который, насколько я могу об этом судить, никто не читает). В приложении к нему разобрался с контрамодулями над адическим пополнением нетерова кольца, обнаружил, что максимальность идеала не играет в этой теории никакой роли, сделал для себя вывод о необходимости развития теории пучков контрамодулей (по ближайшем рассмотрении, оказавшихся, скорее, копучками) над произвольными нетеровыми формальными схемами, и отправился его реализовывать.