July 1st, 2017

Можете ли вы с помощью своей новой техники

доказать какую-нибудь теорему, которую можно сформулировать, но нельзя доказать без нее?

1. Пусть S -- конечно-представимая коммутативная алгебра над коммутативным кольцом R. Тогда если S -- плоский R-модуль, то проективная размерность R-модуля S не превышает единицы.

2. Пусть R -- нетерово коммутативное кольцо размерности Крулля 1. Обозначим через S дополнение к объединению всех минимальных простых идеалов в R. Тогда всякий плоский R-модуль F является прямым слагаемым некоторого R-модуля G, для которого существует короткая точная последовательность R-модулей 0 → P → G → Q → 0, где P -- свободный R-модуль, а Q -- свободный S−1R-модуль.

3. Пусть R -- счетное нетерово коммутативное кольцо. Тогда класс всех R-модулей C, таких что ExtR1(F,C) = 0 для любого плоского R-модуля F, можно описать следующим образом. Это класс всех R-модулей, которые можно получить из векторных пространств над полями вычетов кольца R с помощью операций перехода к счетно-итерированному расширению (в смысле проективного предела последовательности) и фактормодулю по произвольному подмодулю.

Может быть, кто-нибудь умеет доказывать что-нибудь из этого без моих контрамодульных техник?

***

Update -- вот сравнительно совсем элементарное утверждение в том же ряду, можно попробовать начать с него:

4. Пусть R -- коммутативное кольцо и s ∈ R -- элемент. Пусть F -- плоский R-модуль, такой что R[s−1]-модуль F[s−1] проективен и R/sR-модуль F/sF проективен. Тогда F является прямым слагаемым некоторого R-модуля G, для которого существует короткая точная последовательность R-модулей 0 → P → G → Q → 0, где P -- свободный R-модуль, а Q -- свободный R[s−1]-модуль.

UUpdate -- все-таки, утверждение 1., как оно сформулировано выше, нельзя признать удачным способом рекламировать мою гипотезу (теперь теорему), что если конечно представимая R-алгебра S является плоским R-модулем, то это очень плоский R-модуль. Оно легко доказывается другими средствами. Попросту, если R-алгебра S конечно представима, то R-модуль S счетно представим; а всякий счетно представимый плоский модуль имеет проективную размерность не больше единицы.