June 22nd, 2017

Very flatness conjecture

Let R be a commutative Noetherian ring and S a finitely generated commutative R-algebra. Assume that S is a flat R-module. Then S is a very flat R-module.

It seems that we now know how to prove this more than three year old conjecture of mine, though the argument is rather involved.

К предыдущему

Это доказательство гипотезы про очень плоские морфизмы (если оно действительно проходит -- и мне пока что кажется, что оно действительно проходит) представляется, между прочим, примером эффективности "гротендиковского подхода" к решению математических задач -- строй теорию вокруг задачи, и со временем она сама решится.

В практическом плане, в последнее время я пользуюсь таким рецептом, который могу всем рекомендовать. Подбирается набор взаимосвязанных технических понятий, свойства которых хотелось бы изучить. Формулируются естественные утверждения, говорящие о том, что эти понятия хорошо ведут себя в тех или иных контекстах -- в общем, то, чем хотелось бы иметь возможность пользоваться, когда с этими понятиями работаешь. Получается набор лемм, которые ты пытаешься доказать. Кода многие из них окажутся у тебя доказанными, ты называешь более трудные или важные из них теоремами или следствиями, менее трудные или важные -- просто леммами или предложениями, а те, которые не удалось доказать -- вопросами или гипотезами. Пишешь об этом статью, или аппендикс к уже существующей статье, и выкладываешь на Архив.

Текст, может быть, придется несколько раз переписывать, конечно, с постепенным обобщением и усилением. На этот случай на Архиве есть функция "обновить версию". Можно еще переписывать у себя в компьютере, не обнародуя промежуточные версии, но если время от времени выкладывать на Архив, то сохранность + шансы привлечь читателей увеличиваются, а вероятность умереть от голода уменьшается.

Надо найти кого-нибудь, с кем это можно обсуждать, чтоб был приток новых идей. После нескольких лет такой деятельности, однажды вечером ты открываешь свой старый препринт, сохраненный на Архиве, и находишь там давно забытую лемму или теорему, из которой (в комбинации с более свежими соображениями) следует твоя гипотеза.

Вариации на тему

Пусть R -- коммутативное кольцо, C -- R-модуль и F -- плоский R-модуль.

1. Пусть S -- мультипликативное подмножество в R, такое что над кольцом S−1R все плоские модули проективны и для любого элемента s ∈ S все плоские модули над кольцом R/sR проективны. Предположим, что ExtR1(S−1R,C)=0. Тогда ExtR1(F,C) = 0.

2. Пусть S -- мультипликативное подмножество в R, такое что для любого элемента s ∈ S все плоские модули над кольцом R/sR проективны. Предположим, что S−1R-модуль S−1F проективен и ExtR1(S−1R,C)=0. Тогда ExtR1(F,C) = 0.

3. Пусть s ∈ R -- элемент кольца. Предположим, что R[s−1]-модуль F[s−1] проективен, R/sR-модуль F/sF проективен, и ExtR1(R[s−1],C)=0. Тогда ExtR1(F,C) = 0.

4. Пусть S -- счетное мультипликативное подмножество в R. Предположим, что S−1R-модуль S−1F проективен, для любого элемента s ∈ S R/sR-модуль F/sF проективен, и ExtR1(S−1R,C)=0. Тогда ExtR1(F,C) = 0.

5. Пусть S -- мультипликативное подмножество, состоящее из (некоторых) регулярных элементов в R, такое что pdRS−1R ≤ 1 (эта пара условий здесь, конечно, для того, чтобы использовать теорему о разложимости фактормодуля S−1R/R в прямую сумму счетнопорожденных прямых слагаемых, а потом сослаться на пункт 4). Предположим, что S−1R-модуль S−1F проективен, для любого элемента s ∈ S R/sR-модуль F/sF проективен, и ExtR1(S−1R,C)=0. Тогда ExtR1(F,C) = 0.

Все эти утверждения выводятся из леммы:

Лемма 1. Пусть s ∈ R -- элемент. Предположим, что F/sF -- проективный R/sR-модуль, а C -- s-контрамодульный R-модуль. Тогда ExtR1(F,C) = 0.

Дальше можно играть в такую игру: взять какое-нибудь из этих утверждений, заменить все слова "проективный" на "очень плоский", и добавить условие "R-модуль C контраприспособлен". Некоторые из получающихся таким образом утверждений могут быть тоже верны или близки к верным, и доказуемы с помощью следующей

Лемма 2. Пусть кольцо R нетерово, и s ∈ R -- элемент. Предположим, что F/sF -- очень плоский R/sR-модуль, а C -- s-контрамодульный контраприспособленный R-модуль. Тогда ExtR1(F,C) = 0.

Потому, что

во мне на самом деле есть что-то от Честертоновского профессора Чэдда, от фанатика с горящими глазами, скрытыми нелепым обликом книжного червя. Поэтому пишу я то, что хочу или что считаю важным написать, а не то, что напечатают или что кому-то хочется видеть. Занимаюсь тем, что мне близко, а не тем, чем принято или чем занимаются вокруг. А в тех, кого это не устраивает, вижу если не врагов, то, как минимум, людей, с которыми невозможно и не нужно иметь никаких дел.

Поэтому гипотезы я давно уже доказываю не те, которым посвящена длинная статья в Википедии, а по большей части свои собственные. И очень рад, что ближе к старости лет моих мои гипотезы у меня теперь уже иногда доказываются. В юности не доказывались.

При этом, как можно иногда видеть из моих постингов, я отслеживаю и в целом прекрасно понимаю, чем живет окружающий меня мир, как устроены в нем отношения власти и как делаются карьеры. Просто я интересуюсь этим не для того, чтобы прийти к власти над кем-то, а как минимум, для того, чтобы никто не пришел к власти надо мной, а как максимум -- чтобы способствовать общей нормализации обстановки. Поэтому я не ищу себе нишу в окружающем мире каков он есть, а добиваюсь, чтобы такая ниша была создана какой она должна быть. Это небезопасно и некомфортно, но приспособленчество морально нестерпимо для меня.

Почему правильное должно приспосабливаться к неправильному? Пусть они ко мне приспосабливаются.