December 8th, 2011

(Ко)гомологии Хохшильда второго рода матричных факторизаций на особом многообразии? - 2

Этот постинг, как объясняющий мотивацию и постановку задачи, следовало бы написать первым, но пусть будет хоть вторым.

В статье 1010.0982 показано, что (ко)гомологии Хохшильда DG-категории локально свободных матричных факторизаций конечного ранга регулярной функции w с единственным критическим значением 0 на гладком аффинном многообразии X над совершенным полем вычисляются "(ко)гомологическим комплексом Хохшильда второго рода" CDG-алгебры (O(X),0,w). Слово "вычисляются" означает "связаны цепочкой разнонаправленных, но очень естественных квази-изоморфизмов комплексов, предположительно сохраняющих все разумные дополнительные структуры" (такие как циклические гомологии, операции в когомологическом комплексе Хохшильда, и т.п.).

Слова "второго рода" здесь понимаются в классическом смысле [HMS], т.е. попросту означают, что надо тотализировать бикомплекс необычным образом -- брать прямые произведения вдоль диагоналей в случае гомологий, прямые суммы в случае когомологий. (Обычный способ тотализации не имеет смысла, т.е. дает очень глупый ответ, для алгебр с кривизной -- это частный случай общего феномена "теории первого рода теряют смысл при наличии кривизны".)

Хотелось бы обобщить это утверждение на случай пусть аффинных, но негладких многообразий. С этой постановкой задачи немедленно связаны, как минимум, два вопроса:

- Для какой DG-категории надо вычислять (ко)гомологии Хохшильда? В негладком случае появляется уже не один, а два кандидата: DG-категория локально свободных матричных факторизаций конечного ранга и, скажем, локализация Дринфельда DG-категории когерентных матричных факторизаций по абсолютно ацикличным.

Я не знаю, у какой из этих DG-категорий (ко)гомологии Хохшильда правильнее или интереснее, но подход, намеченный в этой серии постингов, следуя в русле нашей вышепроцитированной работы, нацелен на рассмотрение DG-категории локально свободных (т.е., проективных) матричных факторизаций конечного ранга.

- Что должно пониматься под отсутствием ненулевых критических значений у регулярной функции на многообразии с особенностями? Конечно, можно придумать какой-нибудь ответ на этот вопрос (а специалисты, наверное, смогут предложить нам целый ряд возможных ответов), но было бы интересно знать, какой ответ является правильным для этой задачи.

(Ко)гомологии Хохшильда второго рода матричных факторизаций на особом многообразии? - 3

Это продолжение первого постинга из этой серии -- http://posic.livejournal.com/706009.html . Пусть теперь C -- DG-категория, подлежащая градуированная категория которой нетерова, скажем, слева (в смысле рассуждений по ссылке выше, т.е. абелева категория левых градуированных модулей над ней локально нетерова).

Пусть N -- правый DG-модуль над C, а M -- конечно порожденный левый DG-модуль. Тогда Tor второго рода между N и M над B можно вычислять так: выбрать для N левую резольвенту Q из градуированно плоских DG-модулей, тотализовать ее с помощью бесконечных произведений, и помножить результат тензорно на M над B. А Tor первого рода -- так: выбрать для N левую резольвенту Q из гомотопически плоских DG-модулей, остающуюся резольвентой (т.е., точной) после перехода к когомологиям DG-модулей, тотализовать ее с помощью бесконечных прямых сумм, и опять же помножить результат тензорно на M над B.

Для простоты, можно использовать в обоих случаях одну и ту же резольвенту Q (удовлетворяющую обоим условиям). Тогда между двумя тотализациями будет естественный морфизм, конус которого является градуированно плоским ацикличным DG-модулем над C (и это более-менее все, что можно сказать про этот конус).

Поэтому если бы мы знали, что всякий ацикличный правый DG-модуль над C контраацикличен, или, скажем, всякий ацикличный градуированно плоский правый DG-модуль C вполне ацикличен (completely acyclic, в смысле все тех же статей 0905.2621 и 1010.0982) по отношению к классу градуированно плоских DG-модулей, отсюда бы следовало, что Tor первого и второго рода совпадают для любого правого DG-модуля N и любого конечно порожденного левого DG-модуля N.

Аналогично, пусть L -- конечно порожденный левый DG-модуль над B, а M -- любой левый DG-модуль. Тогда Ext второго рода между L и M можно вычислять так: выбрать для M правую резольвенту J из градуированно инъективных DG-модулей, тотализовать ее с помощью бесконечных произведений, и взять Hom над B из L. А Ext первого рода -- так: выбрать для M правую резольвенту J из гомотопически инъективных DG-модулей, остающуюся резольвентой (т.е., точной) после перехода к когомологиям DG-модулей, тотализовать ее с помощью бесконечных произведений, и взять Hom над B из L.

Для простоты, можно использовать в обоих случаях одну и ту же резольвенту J (удовлетворяющую обоим условиям). Тогда между двумя тотализациями будет естественный морфизм, конус которого является градуированно инъективным ацикличным DG-модулем над C (и это более-менее все, что можно сказать про этот конус).

Поэтому если бы мы знали, что всякий ацикличный левый DG-модуль над C коацикличен, отсюда бы следовало, что ExtB(L,M) первого и второго рода совпадают для любого конечно порожденного левого DG-модуля L и любого левого DG-модуля M над B.

Контрпример от противного (он же "левая часть не может быть равна правой")?

Пусть X -- аффинная нетерова схема с горенштейновыми особенностями, w -- регулярная функция на X (нас интересует случай, когда w не является делителем нуля). Допустим, что естественный вполне строгий функтор из абс. производной (= гомотопической, поск. схема аффинна) категории локально свободных матричных факторизаций конечного ранга потенциала w в абс. производную категорию когерентных м.ф. является эквивалентностью (хотя бы с точностью до карубизации), и попытаемся прийти к противоречию.

Прежде всего, компактные образующие копроизводной (= гомотопической) категории локально свободных м.ф. бесконечного ранга описываются в терминах когерентных м.ф. Если все когерентные м.ф. являются прямыми слагаемыми локально свободных конечного ранга, описание это сводится к тому, что все локально свободные м.ф. получаются из локально свободных м.ф. конечного ранга конусами и прямыми суммами. Следовательно, коацикличные квазикогерентные м.ф. ортогональны справа всем локально свободным.

Заметим кстати, что для горенштейновой схемы копроизводные категории локально свободных м.ф. бесконечного ранга и когерентных м.ф. совпадают. Из перечисленных утверждений следует, что в наших предположениях гомотопическая категория м.ф. имеет полуортогональное разложение на локально свободные и коацикличные (наряду с известным в общем случае полуортогональным разложением на коацикличные и инъективные). Таким образом, класс коацикличных м.ф. замкнут относительно бесконечных произведений.

Пусть M -- любая когерентная м.ф., подлежащие два когерентных пучка которой максимальные коэн-маколеевы (буюем называть такие м.ф. просто коэн-маколеевыми). Тогда M имеет правую резольвенту из локально свободных м.ф. Тотализируя ее с помощью бесконечных прямых сумм, мы получаем треугольник вида коэн-маколеева -> локально свободная -> коацикличная. Таким образом, наша коэн-маколеева м.ф. гомотопически эквивалентна прямой сумме локально свободной и коацикличной.

(и так далее)