October 7th, 2011

Слабая версия шести операций

Развитие темы, намеченной здесь -- http://posic.livejournal.com/559763.html . (Много воды утекло с февраля, однако. Например, зачем мне тогда нужна была эта задача -- http://posic.livejournal.com/559909.html -- я теперь уже и не упомню. Не говоря уже о том, что я с тех пор понял обо всем этом.)

Слабая версия состоит в том, что из шести операций мне сейчас нужны только три -- обычный обратный образ f*, прямой образ с компактным носителем f!, и тензорное произведение ⊗. Без последнего тоже можно на первых порах обходиться (главное, чтобы был обратимый функтор тейтовской подкрутки), а морфизмы f нужны, прежде всего, квазиконечные (остальные возникают, кажется, только в контексте cdh-спуска для мотивных когомологий особых многообразий).

Итак, будем рассматривать алгебраические многообразия (отделимые схемы конечного типа, рассматриваемые с точностью до добавления или убирания нильпотентных элементов в структурных пучках) над совершенным полем K характеристики, не делящей натуральное m. Хотелось бы иметь для каждого такого многообразия триангулированную категорию DM(X) = DM(X,Z/m), со следующими дополнительными данными и свойствами.

0. Для любого морфизма многообразий f: Y → X, заданы триангулированные функторы f* и f! между категориями DM(X) и DM(Y). Композиции морфизмов f соответствует композиция функторов, тождественному морфизму -- тождественные функторы. Функтор f! сопряжен к f* слева, когда морфизм f этальный, и справа, когда морфизм f собственный.

1. На категориях DM(X) заданы обратимые функторы тейтовской подкрутки, коммутирующие с f* и f!, а также в них выбран отмеченный объект Z/m, и функторы f* переводят отмеченный объект в отмеченный объект.

2. Для любого многообразия X с открытым подмногообразием j: U → X и его замкнутым дополнением i: Z→ X, и любого объекта M из DM(X) задан выделенный треугольник j!j*M → M → i!i*M → j!j*M[1]. Здесь первые два морфизма суть морфизмы сопряжения, а последний -- дополнительное данное. (Какие-то условия согласования надо бы еще наложить на это данное; функториальность по M, для начала.)

3. Собственная замена базы: для декартовых квадратов многообразий, функторы f* и g! коммутируют.

Если мы все-таки хотим иметь тензорное произведение, то нужны также:

4. Структуры тензорных триангулированных категорий на DM(X); объекты Z/m должны быть единичными объектами тензорной структуры, тейтовская подкрутка -- тензорным умножением на тейтовские объекты Z/m(j); функторы f* должны быть тензорными и переводить тейтовские объекты в тейтовские объекты.

5. Формула проекции для тензорного произведения и функторов f* и f!.

Далее, для моих целей нужно еще иметь функторы этальной реализации DM(X,Z/m) → D(EtX,Z/m) из триангулированных категорий мотивных пучков в производные категории этальных пучков Z/m-модулей, согласованные со всеми вышеперечисленными структурами (в частности, переводящие тейтовские подкрутки в циклотомические подкрутки, или сооотв. тейтовские объекты в циклотомические пучки, и трансформирующие функторы f*, f! в соответствующие функторы для комплексов этальных пучков).

Вопрос: может быть, все это уже построено где-нибудь?

"Слабая" формулировка гипотезы Бейлинсона-Лихтенбаума

"Слабая" в кавычках, поскольку на самом деле она, почти наверняка разумеется, ничуть не слабее обычной сильной. Просто эту "слабую" версию легче сформулировать на уровне триангулированных категорий мотивных пучков (т.е., не прибегая к DG-оснащениям).

В контексте предыдущего постинга, потребуем, чтобы для всех связных гладких многообразий X функтор этальной реализации DM(X,Z/m) → D(EtX,Z/m) индуцировал морфизмы на группах Hom(Z/m,Z/m(j)[i]), являющиеся изоморфизмами для i≤j и мономорфизмами для i=j+1.

На самом деле, для моих точно-категорных целей мне нужно, чтобы они были изоморфизмами для i≤1 и мономорфизмами для i=2, для всех j≥1.

Для отрицательных j потребуем отдельно, чтобы соответствующие группы мотивных когомологий занулялись, а для j=0 -- чтобы там была группа Z/m, натянутая на тождественный эндоморфизм (в когомологической градуировке 0, и нулевые группы в остальных когомологических градуировках; опять же на самом деле мне важно это иметь в когомологических градуировках i≤2).

Про научную работу

Не самый приятный момент бывает, когда нужно доказывать другим то, что в чем и без того уверен сам.

- Я с самого начала (т.е. с 2002 года) не сомневался, что моя теория полубесконечных (ко)гомологий ассоциативных алгебраических структур правильная (и, кстати, не только я). Но чтобы убедить в этом других, надо было предъявить теорему сравнения с полубесконечными гомологиями алгебр Ли. Она, как раз, вполне себе была (в некоторой общности) сформулирована и якобы доказана и опубликована в рецензируемых изданиях. Но, поскольку честность не позволяла ссылаться на эти утверждения, пришлось мучиться, пытаясь доказать это по-настоящему. Процесс растянулся до 2007-08 годов.

- Я с самого начала (т.е. с декабря 2010 года) не сомневался, что моя точная категория мотивных пучков Артина-Тейта правильная, но чтобы убедить в этом других, надо предъявить вложение в триангулированную категорию мотивных пучков. Это я сейчас прописываю.