September 22nd, 2011

Когерентные CDG-модули, открытая подсхема, замкнутое дополнение - 1

Пусть (B,d,h) -- нетерова квазикогерентная CDG-алгебра на нетеровой схеме X, и пусть T⊂X -- замкнутое подмножество, U⊂X -- дополнение к T, рассматриваемое как открытая подсхема, Т⊂X. Пусть B-coh обозначает точную DG-категорию CDG-модулей над B, а B-cohT -- точную подкатегорию в B-coh, состоящую из CDG-модулей, подлежащие градуированные B-модули (или даже, лучше сказать, OX-модули) которых имеют теоретико-множественный носитель в T. Обозначения B-qcoh и B-qcohT имеют аналогичный смысл применительно к квазикогерентным CDG-модулям.

Пусть B-qcohinj обозначает DG-категорию квазикогерентных CDG-модулей над B, подлежащие градуированные B-модули которых инъективны; B-qcohT,inj -- DG-категорию квазикогерентных CDG-модулей над B, подлежащие градуированные B-модули которых имеют теоретико-множественный носитель в Т и инъективны по отношению к абелевой категории градуированных B-модулей с таким носителем.

Лемма 1. a) H0(B-qcohinj) → Dco(B-qcoh) -- эквивалентность триангулированных категорий.
б) H0(B-qcohT,inj) → Dco(B-qcohT) -- эквивалентность триангулированных категорий.

Доказательство: см. раздел 3.7 книжки Two kinds of derived categories... Важно только, что прямые суммы градуированных B-модулей соответствующего класса точны и сохраняют инъективность. Последнее имеет место в силу локальной нетеровости категории квазикогерентных градуированных B-модулей (с ограничением на носитель или без такового).

Лемма 2. a) Dabs(B-coh) → Dco(B-qcoh) -- вполне строгий функтор, образ которого является множеством компактных образующих во второй категории.
б) Dabs(B-cohT) → Dco(B-qcohT) -- вполне строгий функтор, образ которого является множеством компактных образующих во второй категории.

Доказательство: аналогично разделу 3.11 книжки Two kinds of derived categories...

Следующая лемма доказывается в предположении, что свойство инъективности квазикогерентных градуированных модулей является локальным для всех квазикогерентных градуированных алгебр, для которых нам это может понадобиться (см.)

Лемма 3. а) Dabs(B-cohT) → Dabs(B-coh) -- вполне строгий функтор.
б) Dco(B-qcohT) → Dco(B-qcoh) -- вполне строгий функтор.

Доказательство: пункт а) следует из леммы 2 + пункта б), а пункт б) следует из леммы 1 + того факта, что инъективный объект в категории квазикогерентных градуированных B-модулей с носителем в T является в то же время и инъективным объектом в категории произвольных квазикогерентных градуированных B-модулей.

Последний факт выводится из леммы Артина-Риса следующим образом. Во-первых, вазикогерентный градуированный B-модуль J с носителем в T является инъективным объектом в своей категории тогда и только тогда, когда для любой структуры Z замкнутой подсхемы на T максимальный подпучок J, аннулируемый пучком идеалов Z, является инъективным квазикогерентным градуированным модулем над ограничением B на Z. Поэтому локальность инъективности квазикогерентных модулей над ограничениями B на замкнутые подсхемы (вместе с возможностью продолжения структур замкнутой подсхемы на данном замкнутом подмножестве с его пересечений с открытыми подсхемами) влечет локальность инъективности квазикогерентных градуированных B-модулей с носителем в Т. Поэтому вопрос сводится к случаю аффинной схемы.

Пусть теперь имеется коммутативное нетерово кольцо R, в нем идеал a, над ним алгебра B, над B модуль J с теоретико-множественным носителем в множестве нулей a, инъективный в классе таких. Пусть имеется конечно-порожденный B-модуль N и его подмодуль M, и гомоморфизм B-модулей φ: M → J. Поскольку M и a конечно порождены, найдется такое натуральное m, что φ факторизуется через M/amM. Согласно лемме Артина-Риса для идеалов, порожденных центральными элементами в некоммутативных нетеровых кольцах (см.), найдется такое натуральное n, что M ∩ anN ⊂ amM. Теперь остается продолжить гомоморфизм B-модулей в J с M/(M∩anN) на N/anN; оба последних B-модуля имеют теоретико-множественный носитель в множестве нулей a, так что это можно сделать.

Теорему Хартсхорна об инъективных квазикогерентных пучках

хотелось бы передоказать все же. Как есть доказательство Х. для моего слабого ума не вполне постижно, а без обобщения ее на случай нетеровой квазикогерентной (некоммутативной) алгебры над нетеровой схемой мне жить неудобно.

Может быть, можно рассуждать примерно так.

Лемма. Пусть E -- когерентный пучок на нетеровой схеме X, и пусть G ⊂ E -- подпучок OX-модулей. Пусть M -- квазикогерентный пучок на X, и пусть φ: G → M -- гомоморфизм пучков OX-модулей. Тогда найдется когерентный подпучок F ⊂ E, содержащий G, и такой что на него продолжается гомоморфизм пучков φ.

Вывод теоремы Хартсхорна из леммы. Пусть J -- инъективный квазикогерентный пучок на X; мы хотим показать, что он является инъективным пучком OX-модулей. Как известно, достаточно уметь продолжать морфизмы в J с подобъектов образующих объектов категории пучков OX-модулей на сами эти образующие объекты. Образующими объектами являются пучки OU! -- продолжения нулем структурных пучков с открытых подсхем. Пусть G -- подпучок OU! и φ: G → J -- OX-линейный морфизм. Рассмотрим G как подпучок OX и найдем подпучок OX-модулей F ⊂ OX, на который продолжается морфизм φ. Ввиду инъективности J как квазикогерентного пучка, морфизм F → J продолжается до морфизма OX → J. Последний морфизм можно теперь ограничить на OU!.

Доказывать лемму я пока не умею, но она выглядит правдоподобной. По существу речь идет о том, чтобы интерпретировать конечно порожденный пучок OX-модулей как прокогерентный пучок. Рассуждение могло бы выглядеть примерно так. Пучок G порожден конечным набором сечений s на каких-то открытых множествах U. Сосредоточимся на одном таком сечении. Оно порождает подмодуль в модуле сечений E(U), с которым связан когерентный подпучок G(s,U) пучка E|U. Продолжим этот подпучок на открытом множестве до когерентного подпучка F(s,U) всего пучка E. Пучок F(s,U) будем умножать на степени пучка идеалов какой-нибудь структуры замкнутой подсхемы на X\U, и получившиеся когерентные подпучки в E суммировать по всем s. Получится убывающая цепочка когерентных подпучков в Е, в каком-то наивном смысле "сходящаяся" к G. Хотелось бы взять за F достаточно далекий член этой цепочки.