September 9th, 2011

Плоских квазикогерентных пучков всегда много

Нижеследующее мне объяснил А.Н. (детали доказательства ниже мои).

Теорема: любой квазикогерентный пучок на квазикомпактной полуотделимой схеме является факторпучком плоского квазикогерентного пучка.

Комментарий: прежде всего отметим, что плоских пучков на схеме, удовлетворяющей вышеописанным условиям, "много" в наивном, расплывчатом смысле. Попросту, вложение аффинной открытой подсхемы в полуотделимую схему является плоским аффинным морфизмом, так что функтор прямого образа при таком вложении (точен и) переводит плоские пучки в плоские. Если схема к тому же квазикомпактна, (уже даже конечных) прямых сумм плоских пучков такого вида в неком расплывчатом смысле "много".

Доказательство теоремы: пусть M -- квазикогерентный пучок на нашей схеме X, плоский в ограничении на открытую подсхему V, и пусть U -- аффинная открытая подсхема в X. Построим квазикогерентный пучок N, плоский в ограничении на U∪V и сюръективно отображающийся на M.

Пусть j обозначает открытое вложение U → X, и пусть F -- плоский пучок на U, сюръективно отображающийся на j*M с ядром K. Имеется точная тройка j*K → j* F → j*j*M квазикогерентных пучков на X. Рассмотрим индуцированную с нее точную тройку при естественном отображении пучков M → j*j*M. Пусть N -- средний член новой точной тройки; тогда пучок N сюръективно отображается на M с ядром j*K.

В ограничении на U отображение M → j*j*M становится изоморфизмом, так что N|U = F -- плоский пучок. Далее, пучок j*M плоский в ограничении на U∩V, откуда следует, что тем же свойством обладает и пучок K. Поскольку U∩V → V -- плоский аффинный морфизм, пучок j*K плоский в ограничении на V. Отсюда и пучок N, будучи расширением M и j*K, является плоским в ограничении на V. Теорема доказана.

... Мораль из вышесказанного в том, что при разбирательстве с бесконечно порожденными матричными факторизациями можно пользоваться локально свободными м.ф. -- и тогда нужно предполагать, что локально свободных пучков бесконечного ранга достаточно много. Или, альтернативным образом, можно пользоваться плоскими м.ф. -- и тогда нужно предполагать, что (полуотделимая нетерова) схема имеет конечную размерность Крулля (и пользоваться результатами Рейно-Грюзона). При этом для работы с конечно порожденными м.ф. все равно нужно предполагать достаточное количество векторных расслоений.

Модельная структура на CDG-алгебрах?

По итогам обсуждения с В.Т.Л.: сверхоптимистическая гипотеза могла бы выглядеть примерно так.

Св.-о. г.: существует модельная структура на категории CDG-алгебр (скажем, над коммутативным кольцом k конечной гомологической размерности, или даже произвольным), такая что

1) расслоения суть сюръективные морфизмы;

2) корасслоения суть морфизмы CDG-алгебр A → B, такие что градуированная алгебра B свободно порождена над градуированной алгеброй A неким множеством однородных элементов, или является ретрактом такой свободно порожденной алгебры;

3) морфизм CDG-алгебр является слабой эквивалентностью тогда и только тогда, когда он индуцирует эквивалентность копроизводных категорий CDG-модулей, и/или эквивалентность контрапроизводных категорий CDG-модулей.

Похоже ли это на правду? По-моему, нет. Но конкретной причины, почему это не может быть правдой, я назвать не могу.

Периодичность Кноррера с нечетными образующими

Некие (говорят, известные) физики (ну, в известном смысле этого слова...), говорят, утверждают, что бывает нечетный вариант периодичности Кн.: если добавить к CDG-алгебре, описывающей какие-то там матричные факторизации, две свободные центральные нечетные переменные ξ и η, а к потенциалу (кривизне) добавить член ξη, категория (каких-то там) матричных факторизаций не изменится.

Проблема в том, что в обычном четном случае симметрической алгебре от двух образующих x,y с элементом кривизны x2 + y2 двойственна по Кошулю алгебра Клиффорда от двух нечетных образующих, представления которой суть примерно то же самое, что векторные пространства, может быть, градуированные. Внешней же алгебре от двух образующих ξ, η с элементом кривизны ξη соответствует алгебра Вейля (дифференциальных операторов на аффинной прямой), ну и ее представления посложнее векторных пространств будут.

Несколько дней мы с Давидом Ф. бесплодно обсуждали этот парадокс, и я, считая с самого начала, что физики они и есть физики, что с них возьмешь, пришел уже было к выводу, что придать смысл этому делу нельзя, разве что заменить эквивалентность категорий на вполне строгий функтор. Но у Саши П. оказалась лучшая теория о том, что могут иметь в виду физики, и в итоге вывод у нас получился такой.

Надо проградуировать все это дело целыми числами так, чтобы образующие алгебры Вейля попали одна в градуировку 2, другая −2, что-то в этом роде (для этого нужно, чтобы ξ и η сидели в градуировках 3 и −1, примерно так). После этого мы хотим рассматривать только такие модули над алгеброй Вейля, которые ограничены по градуировке снизу. Это значит, что одна из образующих действует локально нильпотентно, и легко видеть, что категория таких модулей над алгеброй Вейля есть действительно категория градуированных векторных пространств. (Там остаются только сдвиги одного единственного неприводимого модуля, типа k[x] над k[x,∂/∂x]. На него действительно производная категория векторных пространств натягивается внутри производной категории модулей над алгеброй Вейля.)

На кошулево двойственной стороне это, скорее всего, означает, что нужно рассматривать CDG-модули над внешней алгеброй от ξ и η, подлежащие градуированные модули которых свободны и ограничены по градуировке снизу, что-то такое.

Конференционная неделя

В целом, ничего похожего по продуктивности на только что прошедшую конференцию у меня не было со времен воркшопа в Падерборне в конце мая 2009 года, или вообще никогда. Собственно, это уже по этому журналу видно.

Вот что значит -- представительное сборище по твоей узкой тематике, проводимое в момент, когда ты над ней интенсивно работаешь. Даже в маленьком П.; тем более в большой Москве.

Забыл с Т.Д. про прямые образы матричных факторизаций поговорить; это жалко.

fp-инъективные модули им. Х.К.

Взято из Example 5.8 к прекрасной статье http://arxiv.org/abs/1005.0209 .

Модуль J над некоммутативным кольцом R называется fp-инъективным, если ExtR1(M,J) = 0 для любого конечно представимого R-модуля M. Класс fp-инъективных модулей замкнут относительно расширений, бесконечных прямых сумм и бесконечных произведений. Ниоткуда не следует, однако, что он должен быть замкнут относительно коядер вложений (хотя для когерентного кольца это, очевидно, выполняется). fp-инъективные модули находятся примерно в таком же отношении к инъективным, как плоские к проективным. Над нетеровым кольцом fp-инъективные модули совпадают с инъективными.

Условие (*) из раздела 3.7 статьи Two kinds of derived categories... (что счетные прямые суммы инъективных модулей имеют конечную инъективную размерность) должно быть удобно проверять, используя эти fp-инъективные модули. Если они имеют конечную инъективную размерность, то условие (*) выполнено.