September 8th, 2011

"Большие" триангулированные категории особенностей по Д.О. и Х.К.

Д.О. определяет "большую" триангулированную категорию особенностей схемы X как факторкатегорию ограниченной производной категории квазикогерентных пучков по ограниченной производной категории локально свободных пучков бесконечного ранга. Х.К. определяет ее как гомотопическую категорию ацикличных комплексов инъективных квазикогерентных пучков (она же факторкатегория ацикличных комплексов квазикогерентных пучков по коацикличным). Определение Х.К. представляется более правильным.

1. В общем случае, ниоткуда не следует, что в неограниченной триангулированной категории особенностей им. Д.О. есть бесконечные прямые суммы, не говоря уже о компактных образующих. Но известно, что все это там имеется, когда рассматриваемая схема есть дивизор Картье в регулярной схеме. Более того, в этом случае, насколько я понимаю, категории компактных объектов в обеих "больших" категориях особенностей эквивалентны обычной "малой" категории особенностей (факторкатегории ограниченных комплексов когерентных пучков по совершенным комплексам).

Нельзя ли построить функтор из "большой" категории Д.О. в "большую" категорию Х.К., индуцирующий эту эквивалентность подкатегорий компактных объектов? Не будет ли из этого следовать, что этот функтор является эквивалентностью двух "больших" категорий?

Update: ну да, так оно и есть. А функтор, о котором идет речь -- просто конус морфизма из левой локально свободной резольвенты данного ограниченного комплекса (квази)когерентных пучков в его правую инъективную резольвенту (или даже просто в исходный ограниченный комплекс), рассматриваемый как функтор со значениями в копроизводной категории. Нужно просто заметить, что левый сопряженный функтор к функтору локализации из копроизводной категории квазикогерентных пучков в производную вычисляется на ограниченных комплексах как функтор левой локально свободной резольвенты (корректно определенный, поскольку ацикличный комплекс локально свободных пучков коацикличен). Далее, см. введение к известной статье Х.К.

2. Как бы определить "большую" триангулированную категорию относительных особенностей замкнутой подсхемы Z ⊂ X в стиле Х.К.?

а) Как факторкатегорию комплексов квазикогерентных пучков на Z, прямые образы которых коацикличны на X, по тем, которые коацикличны уже на Z (ядро функтора прямого образа на копроизводных категориях квазикогерентных пучков)?

б) Как коядро (факторкатегорию по порожденной образом) функтора производного обратного образа на копроизводных категориях квазикогерентных пучков?

в) Как коядро функтора производного обратного образа, действующего (а он, вроде бы, действует, если Z имеет конечную плоскую размерность над X) между копроизводными категориями ацикличных комплексов квазикогерентных пучков?