September 5th, 2011

"Фраза. Просто фраза."

В результате дети и подростки, виновные разве что в изнасиловании своих несовершеннолетних сверстников, массово становятся педофилами со всеми вытекающими.

Новости кулуаров конференции вкратце

1. Мое прочтение Володи В., на котором основывался этот вопрос в MathOverflow, является недоразумением. На самом деле то, что Володя называет "нестабильными мотивными когомологиями негладких схем" не обладает никакими преимуществами в смысле хороших свойств по сравнению со "стабильными мотивными когомологиями"; просто нестабильная категория является промежуточным шагом при построении стабильной, и с первой может быть в чем-то проще иметь дело (в связи с чем Володя про нее и пишет). Формуле, связывающей Ext в категории мотивов над схемой и Ext в категории мотивов над полем, "нестабильные" мотивные когомологии удовлетворять не могут, поскольку соответствующий Ext в категории мотивов над полем как раз "стабилен" (удовлетворяет формуле для когомологий расслоения на проективные пространства). Если предположить "шесть операций" для стабильных мотивных категорий, то из этого следует cdh-спуск для "стабильных мотивных когомологий", которые, следовательно, совпадают с Ext-ами в категории мотивов над полем.

1а. Все это объяснил мне Вадик В., как и вообще более-менее все, что мне нужно было сейчас знать про мотивные когомологии негладких схем. В частности, ответ на предыдущий вопрос в MathOverflow сводится к тому, что для вычисления мотивных когомологий негладких схем по Бейлинсону-Лихтенбауму нужно взять обрезанные производные прямые образы этальных мотивных комплексов в топологию Нисневича, потом пучковизировать в cdh и посчитать cdh-когомологии. Предположительно, это то же самое, что просто взять обрезанные производные прямые образы из h в cdh и посчитать cdh-когомологии.

1б. Этально-Нисневичевская же формула Бейлинсона-Лихтенбаума правильных мотивных когомологий для негладких схем не дает просто потому, что когомологии Нисневича постоянного пучка Z (или Z/l) отличаются от его же cdh-когомологий для некоторых особых многообразий. Т.е. этально-Нисневичевская формула не дает правильного ответа уже в весе 0. Подходящим контрпримером такого многообразия является нормальная поверхность, у которой при разрешении точечной особенности исключительным дивизором с нормальными пересечениями оказывается кривая с нодами, в графе пересечений неприводимых компонент которой имеется цикл (петля, т.е. любое самопересечение компоненты, тоже считается циклом). См. книжку Mazza-Voevodsky-Weibel, Ex. 12.32 и Thm. 14.20. (Этально-Зарисская формула, разумеется, ломается уже не для поверхностей, а просто для нодальных кривых.)

Надо бы в свете вышеизложенного написать собственные ответы на эти два моих вопроса на MO. И статью про мотивные пучки AT, лежащую в Advances, теперь пора уже целиком переписывать. Ясность в основном достигнута, и она сильно отличается от того, как расставлены акценты в декабрьской версии.

2. Мои теоремы про прямые образы конечно-порожденных (когерентных или локально свободных конечного ранга) матричных факторизаций являются недостаточно общими: правильное условие -- собственность морфизма не в ограничении на нулевой локус, а хотя бы на сингулярную часть нулевого локуса, а по хорошему -- так просто на носитель данной конкретной матричной факторизации. Про носители матричных факторизаций все написано в статье Полищук-Вайнтроб, что про матричные факторизации и категории особенностей на стеках (разделы 5-6). Соотв. часть моей статьи надо переписать с учетом этой работы П.-В., на что мне указал Саша П. Там все довольно прозрачно, проблем не видно.

2а. В последней связи, любопытно также взглянуть на прекрасную, скромную, разумную и дельную заметку авторства молодого континентального китайца с европейским образованием -- http://arxiv.org/abs/1002.3467