August 31st, 2011

Прием в аспирантуру матфака ВШЭ: объявление

До 15 сентября сего года (т.е. только в ближайшие две недели!) осуществляется прием документов в аспирантуру факультета математики НИУ-ВШЭ на этот учебный год. Все интересующиеся are encouraged to apply, тем более, что ожидается недобор.

Общая информация об аспирантуре есть на официальном сайте Вышки по адресу http://math.hse.ru/post-graduate , откуда есть ссылки на правила приёма, программу экзаменов (математика, английский, философия) и варианты прошлогодних экзаменационных заданий.

С вопросами лучше всего обращаться непосредственно к Валентине Кириченко ( vkiritchenko@yahoo.ca ), которая является куратором аспирантуры нашего факультета.

Среди наших нынешних аспирантов имеются, например, Ярослав Абрамов zroslav и Игорь Нетай http://vkontakte.ru/netay , у которых можно из первых рук узнать о том, каково в нашей аспирантуре живется-учится и как туда поступается.

Если у кого-то из прочитавших это объявление есть знакомые, которых оно могло бы заинтересовать, передайте им, пожалуйста. Ссылки на этот постинг приветствуются.

P.S. Дополнительно сообщается, что в этом году документы в аспирантуру можно подать по почте -- иногородним не нужно специально для этого приезжать в Москву.

Плоские модули над квази-алгеброй (ответ на вчерашний вопрос)

Пусть R -- коммутативное кольцо, A -- некоммутативное, и R → A -- гомоморфизм колец, удовлетворяющий нижеследующему условию (это называется, что A -- дифференциальный бимодуль или, в моей новой терминологии, "квази-алгебра" над R). Требуется, чтобы для любых элементов r из R и a из A существовало натуральное n, такое что последовательность элементов b0 = a, bi+1 = rbi − bir обращается в ноль начиная с номера n, т.е., bn = 0.

Следующее далее с большой вероятностью является слабеньким следствием результатов из работы Рено-Грюзон, но я туда пока еще по этому поводу не заглядывал, а повозился немножко сам, и вот что получилось.

Утверждение: пусть М -- левый R-модуль, такой что для любого простого идеала p из R локализация (p)M модуля M в точке p является плоским модулем над некоммутативным кольцом (p)A = A(p), или, что все равно, над некоммутативным кольцом A. Тогда и сам модуль M является плоским A-модулем.

Доказательство: основным нашим инструментом является точная последовательность Чеха. Для разминки, докажем сначала, что если fi -- (конечный) набор элементов кольца R, такой что спектр R является объединением спектров его локализаций по элементам fi (т.е. попросту элементы fi порождают единичный идеал в R), и локализация M по каждому из элементов fi является плоским A-модулем, то и сам M является плоским A-модулем.

Точная последовательность Чеха имеет вид

0 → M → ⊕i [fi−1]M → ⊕i < j [fi−1,fj−1]M → … → 0.

Очевидно, локализация сохраняет плоскость. Если все нетривиальные члены, кроме самого левого, плоские, то и самый левый член тоже плоский. С разминкой мы справились.

Collapse )