August 3rd, 2011

Со схемами все же

мне труднее работать, чем с некоммутативными кольцами и коалгебрами там всякими. Вот например, писать всюду "на всякий случай" предположение, что схема отделима -- это одно. А уметь пользоваться этим условием -- это вовсе даже другое.

На отделимой схеме можно писать комплекс Майера-Виеториса/Чеха по аффинному покрытию, и все функторы прямого образа в этом комплексе будут точными. Вот и вся проблема с Remark 1.B в текущей версии 1102.0261.

Не умеешь -- не берись? А вот я буду браться, и все тут. Патамушта амплуа такое.

(Между тем интересно, что для некоторых рассуждений достаточно на выбор либо отделимости (с точностью прямых образов с аффинных открытых подсхем), либо нетеровости (с хорошими свойствами инъективных пучков). Где-то я что-то об этом краем глаза видел написанным, да позабыл, где.) [Upd.: см. напр. Appendix B к Thomason-Trobaugh.]

Hartshorne, Residues and Duality

Chapter II, Theorem 7.18 on page 133: "Let X be a locally noetherian prescheme. Then every quasi-coherent OX-module F can be embedded into a quasi-coherent, injective OX-module I." Proof: "Indeed, we will show that the injective hull I of a quasi-coherent sheaf F is quasi-coherent. <...>"

Example on page 135: "If X is a locally Noetherian prescheme, the category Qco(X) of quasi-coherent sheaves on X may not be locally noetherian. Thus we do not know the structure of injectives in that category, and we do not know whether every injective object in Qco(X) is injective in Mod(X)."

Курсив мой. Типа, вложите этот ваш инъективный квазикогерентный пучок в инъективный OX-модуль, являющийся квазикогерентным пучком (согласно теореме), и он там будет прямым слагаемым. И класс инъективных OX-модулей замкнут относительно прямых слагаемых.

Мораль: не только я один берусь, не умея.