June 23rd, 2011

Что рассказывал Манин на "Глобусе"

Пусть W -- гладкое компактное алгебраическое многообразие. Будем рассматривать алгебраические кривые C рода g с n отмеченными точками. Зафиксируем класс вторых гомологий β (в смысле топологии алгебраических многообразий) многообразия W и будем рассматривать отображения кривых C в многообразие W, переводящие фундаметральный цикл C в класс β.

Нас интересует компактифицированное многообразие модулей таких отображений. С этим связаны разные проблемы -- во-первых, компактифицировать можно по-разному, есть разные условия стабильности. Во-вторых, можно посчитать, какова должна быть размерность такого многообразия "в ситуации общего положения", но фактически она не такова и сделать ее такой как нужно, деформируя W как алгебраическое многообразие, невозможно -- "вся алгебраическая геометрия находится не в общем положении".

Проблема решается двумя способами -- можно заменить алгебраические многообразия симплектическими, но это, во-первых, влечет потерю информации, а во-вторых, основные результаты симплектической геометрии опираются на hard analysis, и Ю.И. не уверен, доказаны ли они вообще, или про них просто написали по нескольку сот страниц и приняли на веру.

Алгебро-геометрическое решение [обычного, как мне кажется, рода в теории пересечений] состоит в том что, ну ладно, у нас есть многообразие размерности большей, чем нужно, но в группе Чжоу циклов на нем нужной размерности мы построим канонический элемент, который будет играть роль фундаментального цикла несуществующего многообразия нужной размерности.

Многообразие модулей отображений из C в W отображается, во первых, в многообразие модулей кривых рода g с n отмеченными точками (не отображающихся куда-либо, т.е., отображающихся в точку) -- это тоже нетривиально, поскольку стабильное отображение C → W перестает быть стабильным, если забыть W и оставить только C с ее отмеченными точками -- но такое отображение можно построить. Во-вторых, это многообразие модулей отображается в декартову степень Wn -- можно взять набор образов отмеченных точек C.

Образ фундаментального цикла несуществующего правильного многообразия модулей, или существующего канонического цикла на неправильном многообразии модулей, определяет цикл в произведении многообразия модулей стабильных кривых с n отмеченными точками и многообразия Wn. Следовательно, каждому классу когомологий (в том же смысле топологии алгебраических многообразий/теории мотивов) многообразия модулей стабильных кривых сопоставляется тензор в n-й тензорной степени гомологий W.

Утверждается, что когомологии многообразия модулей стабильных кривых образуют операду, а построенные выше тензоры задают на (ко)гомологиях W структуру алгебры над этой операдой [видимо, с коэффициентами в функциях/степенных рядах на вторых когомологиях W, получающихся при взятии производящей функции по всем значениям параметра β]. В этом смысле когомологии компактификации Делиня-Мамфорда пространства модулей кривых являются универсальными когомологическими операциями в когомологиях алгебраических многообразий.

Хотелось бы заменить во всей этой истории модули кривых на модули многообразий произвольной размерности, но никто не знает, как это сделать.

P.S. Вот еще прекрасная метафора для детей из этого доклада. Проблема компактификации -- это проблема деления ноля на ноль. Компактификация есть правило, говорящее, как присваивать значения результату деления ноля на ноль. [В определенном контексте/классе ситуаций, естественно; и, естественно, компактификаций разных существует много.]

Индекс цитируемости

С нарастающим изумлением наблюдаю за динамикой (или, скорее, отсутствием таковой) своих индексов цитируемости по базе MathSciNet. Например, в данный момент на странице "цитируемость" сообщается, что на книжку про квадратичные алгебры имеется 61 ссылка, но если кликнуть на страницу книжки, то там уже обнаруживается, что на книжку имеются 62 ссылки. Имею гипотезу, что это так получилось потому, что кое-какие авторы пишут мою фамилию с буквой y на конце, а не как я сам ее пишу. [Update: нет, если сравнить со страницей цитируемости моего соавтора по этой книжке, то видно, что гипотеза не подтверждается. И там вообще много такого. Видимо, это все-таки временное явление.]