May 5th, 2011

Проблема кривизны

имени Венди Тор Л. состоит в следующем. Как известно, пространство инфинитезимальных деформаций ассоциативной алгебры (над полем) есть пространство ее вторых когомологий Хохшильда. Попробуем обобщить это на случай DG-алгебр. У DG-алгебры (A,d) над k есть бикомплекс Хохшильда, где на диагонали, соответствующей степени 2, стоят пространства A2, Hom1k(A,A), Hom0k(A⊗kA, A), и т.д. Элементы пространства Hom0k(A⊗kA, A), очевидно, отвечают за деформации умножения в A, элементы пространства Hom1k(A,A) -- за деформации дифференциала на A. Элементы пространств Hom из тензорных произведений трех и более множителей -- за деформации A, связанные с добавлением высших умножений, так что получается A-алгебра. Ну, а элементы A2 отвечают за появление кривизны, так что получается CDG-алгебра.

Проблема в том, что деформировать DG-алгебру с получением CDG-алгебры -- дело в некоторых отношениях не вполне осмысленное. Скажем, с DG-алгеброй можно связать производную категорию DG-модулей над ней. Никакого продолжения на CDG-алгебры эта конструкция не имеет. Аналогично, у DG-алгебры есть алгебра когомологий, у CDG-алгебры -- нет. В общем, CDG-алгебра вроде бы и разумный объект, но как с ним работать в этом контексте, непонятно.

Я тут поразмыслил, и остановился на следующей, так сказать, философской позиции по этому вопросу. Следует различать теории первого и второго рода. В теории второго рода, за инфинитезимальные деформации CDG-алгебры отвечают ее вторые когомологии Хохшильда второго рода. В частности, деформацией DG-алгебры может быть CDG-алгебра; в общем же случае такой деформацией оказывается "CA-алгебра" -- A-алгебра с кривизной, но с дополнительным условием, что ненулевых высших умножений конечное число.

В теории первого рода, за инфинитезимальные деформации DG-алгебры отвечают вторые когомологии ее комплекса Хохшильда первого рода, из которого удален нулевой столбец, т.е. сама DG-алгебра, рассматриваемая как комплекс. Это такой подкомплекс комплекса Хохшильда первого рода. В общем случае, деформацией DG-алгебры являтся A-алгебра (без кривизны, но с возможно бесконечным числом высших умножений). Таким образом, в теории первого рода запрещенными объявляются не только CDG-деформации DG-алгебр, но и CDG-изоморфизмы DG-деформаций DG-алгебр.

Последние проблематичны в том же смысле, что и CDG-деформации: они не индуцируют никаких эквивалентностей производных категорий DG-модулей, никаких изоморфизмов алгебр когомологий, и т.д. В общем, по-моему, аналогия с теорией A-алгебр с кривизной и без, изложенной в разделе 7 статьи Two kinds of derived categories ..., подсказывает вывод, что нулевой столбец бикомплекса Хохшильда не имеет деформационного смысла в теории первого рода.

На худой конец (если важно отношение когомологичности на 1-коциклах Хохшильда, скажем, в видах построения стека модулей деформаций и т.п.) можно сохранить неположительную половину нулевого столбца, заменив его на его каноническое обрезание в нуле, τ≤0 A. Такой подкомплекс, правда, не замкнут относительно операций подстановки, так что идеального решения проблема может и не иметь.