April 20th, 2011

Резольвенты для DG-модулей над комплексом де Рама - 3'

Вариация на тему http://posic.livejournal.com/585501.html , с заменой Ω/O-(ко)индуцированности ("сильной относительной приспособленности") на слабую относительную приспособленность (определямую, напомним, для градуированного квазикогерентного модуля M над Ω как зануление высших внутренних TorΩ(O,M); см. определение в http://posic.livejournal.com/589669.html и основные свойства в http://posic.livejournal.com/592499.html ).

Теорема. Копроизводная категория DG-модулей над Ω эквивалентна абсолютной производной категории DG-модулей, подлежащие градуированные модули которых слабо Ω/O-относительно приспособлены.

Доказательство: существование таких резольвент является частным случаем теоремы 3 по первой ссылке выше (например). Трудной частью является описание отношения эквивалентности на слабо относительно приспособленных резольвентах. Это делается аналогично доказательству теоремы 5.4 из 0708.3398 (в отличие от доказательства теоремы 3, которое аналогично доказательству теоремы 5.5 из той же книжки). Рассуждение тоже основано на построении полуортогонального разложения гомотопической категории слабо относительно приспособленных DG-модулей.

Точнее, утверждается, что DG-модули, абсолютно ацикличные по отношению к слабо относительно приспособленным и Ω-инъективные DG-модули образуют полуортогональное разложение гомотопической категории слабо относительно приспособленных DG-модулей. Чтобы разложить таким образом слабо относительно приспособленный DG-модуль M, ему пишется правая резольвента из Ω-инъективных DG-модулей, и дальше используются Следствия 1 и 3 из постинга по третьей ссылке выше. Остальная часть аргумента такая же, как в доказательстве теоремы 3.

Резольвенты для DG-модулей над комплексом де Рама - 5б

Усиление результата http://posic.livejournal.com/586100.html

Теорема. Копроизводная категория DG-модулей над Ω эквивалентна абсолютной производной категории Ω-плоских (или локально Ω-свободных; как градуированные Ω-модули) DG-модулей над Ω.

Комментарий: более сильный результат, чем в постинге по ссылке, получается за счет другого подхода к доказательству. По ссылке мы строили каждому DG-модулю O-плоскую левую резольвенту, а O-плоскому DG-модулю -- Ω-плоскую правую резольвенту. Здесь мы построим каждому DG-модулю слабо Ω/O-относительно приспособленную (плоскую) правую резольвенту, а каждому слабо Ω/O-приспособленному DG-модулю -- Ω-плоскую левую резольвенту.

Доказательство: мы уже знаем из предыдущего постинга ("теорема 3'"), что копроизводная категория DG-модулей над Ω эквивалентна абсолютной производной категории слабо относительно приспособленных DG-модулей. Осталось показать, что последняя эквивалентна абсолютной производной категории Ω-плоских DG-модулей.

Существование таких резольвент легко устанавливается аналогично тому, как в постинге 3' строились инъективные резольвенты. Единственность доказывается аналогично доказательству теоремы или предложения из раздела 1 статьи 1102.0261. Так же, как и в постинге 4, для этого необходимо, конечно, предполагать наличие достаточного числа векторных расслоений на X.