April 8th, 2011

Алгебра и геометрия

Отметил для себя разницу между моей (нынешней) психологией и (предположительной) психологией геометрических людей. Для геометра (видимо) коммутативное кольцо -- это технический способ локального описания алгебраического многообразия, а некоммутативное кольцо -- это обобщение коммутативного, для которого остаются верными некоторые вещи, которые верны для коммутативных колец. С алгебраическим многообразием можно связать производную категорию (когерентных или конструктивных, кто что любит) пучков, ну а про (некоторые) другие триангулированные категории можно думать, как про некоммутативные аналоги многообразий.

Для меня некоммутативное кольцо -- это базовый объект, первоначальный. Лучше всего, если это произвольное некоммутативное кольцо, ну или с умеренными ограничениями (конечной гомологической размерности, нетерово, кошулево и т.д.). Пучок колец -- это обобщение кольца, для которого остаются верными некоторые вещи, которые верны для колец. У кольца есть производная категория модулей, а у пучка колец есть производная категория пучков модулей. А алгебраическое многообразие -- это естественный объект, над которым живут пучки колец, тоже, по возможности, некоммутативных (квазикогерентные алгебры, дифференциальные операторы и проч.)

У некоммутативных колец есть чисто алгебраические аналоги и обобщения -- коалгебры над полями, топологические кольца, кокольца над кольцами, полуалгебры над коалгебрами и т.д. Какие-то из них можно связать с геометрическими объектами (инд-схемами, алгебраическими группами, группоидами, стеками и т.д.), но роль таких геометрических примеров, как и иных примеров (коалгебры связываются также с проконечными группами и проч.), скорее, иллюстративная. Объектом, про который можно по-настоящему думать и с которым можно работать, остается алгебраическое образование -- (достаточно произвольная) коалгебра и т.д. Придуманное для колец, коалгебр и коколец потом можно пытаться переносить на ситуации с геометрической компонентой (квазикогерентные алгебры и т.д.)

Моя книжка в бумажной обложке?

Веб-магазины утверждают, что да, вышло дешевое издание, еще в конце прошлого года:

http://www.amazon.com/Homological-Algebra-Semimodules-Semicontramodules-Positselski/dp/3034604378/ref=sr_1_3?ie=UTF8&qid=1302219466&sr=8-3
http://search.barnesandnoble.com/Homological-Algebra-of-Semimodules-and-Semicontramodules/Leonid-Positselski/e/9783034604376/?itm=2&USRI=positselski

Всего за 25 долларов или даже меньше. На сайте Шпрингера я никакого упоминания об этом не нашел, с другой стороны.

Издание в твердом переплете можно купить долларов за 70 (подержанное дешевле).