March 20th, 2011

CDG-коалгебры, горенштейновы по Артину-Шельтеру

Конильпонентная CDG-коалгебра C называется горенштейновой по Артину-Шельтеру степени d ∈ Z, если функтор производного комодульно-контрамодульного соответствия RΨC переводит тривиальный левый CDG-комодуль k над C в объект контрапроизводной категории CDG-контрамодулей над C, изоморфный тривиальному левому CDG-контрамодулю k над C, сдвинутому в когомологическую градуировку d, т.е. RΨC(k) ≅ k[−d] в Dctr(C-contra).

Поскольку производная кошулева двойственность сопоставляет тривиальному C-комодулю k свободный модуль A над двойственной алгеброй A, а тривиальному C-контрамодулю k косвободный модуль A*, горенштейновость по Артину-Шельтеру CDG-коалгебры C эквивалентна изоморфизму A ≅ A*[−d] в производной категории DG-модулей над A. Последнее, как нетрудно видеть, эквивалентно градуированной фробениусовости алгебры когомологий H(A) с подходящей фробениусовой линейной функцией Hd(A) → k. В частности, в этом случае алгебра H(A) с необходимостью имеет конечномерные компоненты; если она к тому же неотрицательно градуирована, то она конечномерна.

Так что если C была не CDG-коалгеброй, а просто конильпотентной коалгеброй, то конечность гомологической размерности C (и то, что она равна d) вытекает из такого определения AS-горенштейновости. Напомним, что без предположения конечности гомологической размерности изоморфизм в контрапроизводной категории есть более сильное условие, чем просто квазиизоморфизм.