March 9th, 2011

2-категория CDG-алгебр

Этот постинг -- о пользе чтения спецкурсов. Я тут немножко готовился к лекции, и в процессе подготовки немножко выяснилось, что в моей науке о CDG-алгебрах, прямо начиная с самого 93-го года, имеется небольшая глобальная дыра. Не в том смысле, что там что-то неверно, а в том смысле, что там чего-то недостает. Насколько это важно, покажет время; пока что видно, что определение пучка CDG-алгебр, или квазикогерентной CDG-алгебры над схемой, изложенное в моих текстах, допускает естественное обобщение, возможно, более правильное, чем то, что там написано.

Но все по порядку. CDG-кольцо (B,d,h) -- это градуированное кольцо B с нечетным дифференцированием d степени 1 и элементом h степени 2, такими что d2(b) = [h,b] для всех b из B и d(h) = 0. При обобщении DG-алгебр до CDG-алгебр, расширению подвергается не только класс объектов, но и множество морфизмов между двумя фиксированными объектами (т.е. соответствующий функтор строгий, но не вполне строгий). Морфизмом CDG-колец (B,dB,hB) → (A,dA,hA) называется пара (f,a), где f: B→A -- морфизм градуированных колец, а a -- элемент степени 1 в кольце A, такой что f(dBb) = dAf(b) + [a,f(b)] для всех b из B и f(hB) = hA + dA(a) + a2. Квадратные скобки обозначают суперкоммутатор, как водится.

Элемент h называется "элементом кривизны"; элемент a называется "элементом замены связности". Как знает, возможно, каждый физик, где есть кривизна и связность, там полагается также быть калибровочным преобразованиям. Но я не физик, и пришел к нижеизложенной мысли, размышляя о когомологиях Дольбо, параметризующих скрученные D-модули.

Пусть (f′,a′) и (f″,a″) -- два морфизма CDG-колец (B,dB,hB) → (A,dA,hA). 2-морфизмом из (f′,a″) в (f″,a″) называется обратимый элемент z степени 0 в кольце A, такой что f″(b) = zf′(b)z−1 для всех b из B и a″ = za′z−1 − dA(z)z−1. Композиция 2-морфизмов (как и композиция 1-морфизмов) определяется самым очевидным образом. Все 2-морфизмы в категории CDG-колец обратимы (по крайней мере, в определении выше; может быть, можно придумать какие-нибудь необратимые обобщенные 2-морфизмы...)

Если пара (f′,a′) является морфизмом CDG-колец и z -- обратимый элемент в A0, то пара (f″,a″), определенная формулами выше, тоже является морфизмом CDG-колец. Отметим разницу между DG- и CDG-морфизмами: на DG-морфизмах действуют сопряжениями обратимые коциклы степени ноль; на CDG-морфизмах действуют сопряжениями обратимые коцепи степени ноль. (Аналогично: структуру DG-алгебры можно скрутить на 1-коцепь Маурера-Картана; структуру CDG-алгебры можно скрутить на произвольную 1-коцепь (при этом получается изоморфная CDG-алгебра).)

С морфизмом CDG-колец связан DG-функтор на DG-категориях CDG-модулей, а с 2-морфизмом в категории CDG-колец должен быть связан (изо)морфизм таких функторов (действующий на модулях оператором умножения на z). В определении пучка CDG-алгебр можно/нужно требовать коммутативности морфизмов ограничения с открытого множества W на V и дальше на U, или сразу с W на U, не в виде равенства, а в виде 2-изоморфизма двух морфизмов CDG-алгебр. Наличие изоморфизма DG-функторов из первой фразы этого абзаца позволит определить DG-категорию CDG-модулей над таким пучком CDG-алгебр.

Надо бы еще посмотреть, как все это влияет на науку о вторичных классах Черна-Саймонса из моей старой статьи.